【关键词】 非线性动力学
关键词: 非线性动力学;关联分维;非线性预报;不稳定周期轨道;神经元
摘 要:目的 研究如何识别神经元阵发放电序列中的确定性动力学. 方法 运用不稳定周期轨道及关联分维、非线性预报对神经元阵发放电序列中的确定性动力学进行了研究. 结果 在确定性统计方法失效的情况下，不稳定周期轨道方法依然能可靠的辨别出放电序列的周期Ⅰ，周期Ⅱ，周期Ⅲ轨道结构. 结论 与确定性统计方法比较，不稳定周期轨道更适合于对高维动力系统的混沌时间序列进行分析.
Keywords:nonlinear dynamics;correlation dimension;non-linear prediction;unstable periodic orbits;neu-rons
Abstract:AIM To study how to identify determinant dy-namics in neurons spiking series.METHODS Determinant dynamics in neurons spiking series was researched by using unstable periodic orbits，correlation dimension and nonlinear prediction.RESULTS When the determinant statistics is in-effetive，the orbital structures of PeriodⅠ，PeriodⅡand Pe-riodⅢcould be recognized by using unstable periodic orbits.CONCLUSION Compared with determinant statistics，unstable periodic orbits is more suitable for the analysis of chaotic time series with high dimension.
0 引言
现在，混沌理论已在生命科学领域得到广泛应用，特别在神经系统的研究中，诸如单细胞神经元、神经网络、各类神经疾病、离子通道、脑电信号的混沌及控制等方面，均取得许多有价值的结果.
由于生理系统具有明显的非线性性质，因此非线性分析方法可能有助于更好的揭示其特性与机制.目前研究是通过估计信号的某些非线性动力学参数（如关联分维、李雅普诺夫指数等）和采用非线性预报等方法来表征该信号，但是估计这些参数所需数据点数较多（Wolf曾经指出要可靠地刻画一个m维吸引子所需数据点多达30
m ）;而且，对高维吸引子，采用以上方法结果不稳定［1］ .
周期轨道理论认为，混沌动力学系统在相空间中生成的奇异吸引子包含了无穷多的不稳定周期轨道（unstable periodic orbits，UPOs），它们构成了吸引子的骨架.因而，嵌入在混沌吸引子中的UPOs对于理解混沌动力系统是非常重要的.运用UPOs可识别神经元放电序列中的确定性成分.
1 算法
1.1 相空间重构 由于非线性间的相互作用，我们可以从单一的动力学变量的时间序列中提取其他动力学变量的信息.因而对于时间序列要采用延时坐标相空间重构的办法，简称相空间重构.通常情况下，重构相空间与原系统相空间是等价的［2］ .以下关于计算关联分维、非线性预报和UPOs都是在重构相空间中进行的.
1.2 关联分维 混沌运动实际上可能具有某种潜在的次序，并能以相对较少的自由度来描述.分维数就是来描述混沌自由度信息的参数.关联分维由于易于计算等因素，应用范围比较广泛.选定一个正数r，考虑状态空间的N个点在m维嵌入相空间中有多少“点对”（Xi ，Xj ）之间的距离小于r，把距离小于r的“点对”在一切“点对”［共有N（N-1）个“点对”］中所占比例记作相关总和:C（r）= 1N（N-1）ΣNi，j=1i≠j θ（r- xi-xj ）;θ（x）为Heaviside函数函数C（r）描述了随r增加，“点对”数（小于r的）是如何增长的分布函数.在较小r的一段区间内有C（r）=rD ，那么，这里的D就是该吸引子的维数.对不同的嵌入维数m=1，2，3…，都可求出相应的维数Dm ，当Dm 的变化趋于平缓且2Dm ≤m时，这个Dm 就是关联维数.关联维数越大，动力系统的混沌程度越高，也就是动力系统的运动越复杂［3］ .
1.3 非线性预报 非线性预报是分析数据序列是否混沌态的有效工具之一，混沌运动对初值敏感，长期运动不可预测而短期运动可以预测，针对这一特点，非线性预报是计算当前相空间与以后相空间的相关系数.我们介绍一稳定和简单的方法:在延迟嵌入空间中， Un 是Rn所有邻点的个数，Un是Rn的邻点集，如果要预报时间n+k后的测度，简单的预报为:Rn+kRn+k=1 Un ΣRj∈Un Rj+k我们计算不同的相对预报时间（作为X轴），可得相应的相对预报误差（作为Y轴），相对预报误差指预报误差被向量的标准差除而得;作二维曲线图.如数据来自非线性确定性系统（混沌），随着相对预报时间范围的增长，曲线形状为指数增长;如果数据是线性相关的，随着相对预报时间范围的增长，曲线形状为缓慢线性增长;当数据无任何相关性，随着相对预报时间范围的增长，曲线形状为在常数左右波动［4］ .
1.4 不稳定周期轨道 是一种新的用于神经元系统的复杂性行为研究的非线性动力学分析方法.在动力学系统状态的数学空间坐标表达中，周期轨道是平衡状态.如果抽象动力学图中的所有周期轨道都是不稳定的，那么系统的时间演化就不会稳定在它们中的任意一个上，系统的行为在一系列紧靠这些周期轨道的地方不间断地徘徊.一个轨道越不稳定，系统靠近它所花的时间就越少.UPOs构成了非线性动力学特性的“骨架”，甚至混沌系统的行为也能够用无穷多这种轨道来进行描述［5］ .
我们把实验数据经过一个数据变换［6，7］ ，以便从重构状态空间中提取UPOs.该变换就使数据集中在这些UPOs附近，特别是对于噪音的动力学系统，经变换的数据的概率分布函数在真周期轨道处有奇 异点.
变换的概率增强作用能够用一个一维离散动力学系统Xn+1 =f（Xn ）说明.这里f（Xn ）是一个描述系统状态Xn 演化的非线性函数.一个周期p轨道X*p ，经过p次迭代成像后依然等于X*p ，即f0f0…f（X*p）=X*p这里0是复合函数.对于周期1轨道X* :f（X* ）=X* ，Xn 的周期轨道变换定义为:g（Xn，k）≡Xn-S（Xn，k）・Xn-11-S（Xn，k）S（Xnk）=f’（Xn）+k・（Xn-Xn-1）k是变换的调节参数.对于高维的周期轨道变换也有类似的定义［7］ .可证明，对于周期1轨道X* 来说，有:g（X* ，k）=X* ;dg dX（X* ，K）=0且不依赖于k。g（Xn ，k）在X* 附近的Taylor展开可由一个二次函数近似描述:g（X，k）≌X* +a（X-X*）2 这里a是一个常数.改写后得:（g（X，k）-X* ）≌a（X-X* ）2这个方程说明了变换在X* 附近的概率增强作用.这样，从实验数据中提取周期轨道的问题就转变成在变换数据分布中寻找峰值的问题.
在实际实验中，数据集经常受到动力学上的和观测上的噪音混杂在一起的干扰.使用振幅调节的傅立叶变换得到的替代数据，通过多重实现和极值统计量［8］ ，我们能够估计出在数据中观察到的尖峰具有统计上显著性的概率大小.即:只要在变换数据的分布函数中有大于替代数据集（30～100）最大峰的95%的尖峰存在，在分析中我们就认为观察到的周期轨道具有统计显著性.同时对于生物系统，有一个问题是它的非平稳性.因此，我们选择一定长度的数据来分析，选择长度要足够短以近似平稳系统状态，同时又要足够长以获得好的统计特性.
2 分析比较
我们由DRG神经元阵发放电的动作电位间期（interspike interval，ISI）序列，计算得到放电的事件间期（interevent interval，IEI）序列，共1028个数据点（Fig1）.首先，我们计算关联分维.由于神经放电序列其维数在10左右，则取嵌入维为20，延迟时间为1.对于不同的距离测度r（作X轴），得到相应的关联分维（作Y轴）（Fig2）.当取不同的距离尺度时，关联分维没有一明显的平坦区域，即计算的关联分维不稳定.
其次，对于同一数据计算非线性预报.同样，取嵌入维为19，延迟时间为1.以相对预报时间为X轴，相对预报误差为Y轴，作二维分析图（Fig3）.当相对预报时间增加时，相对预报误差并没有指数增长区域，表明数据中并不存在确定性成分. 转贴于 不稳定周期轨道检测:从颜色编码密度图中辨识出周期轨道的位置（在那些点中，黑色指显著的变换密度值大于95%）.在确定性统计方法失效的情况下，不稳定周期轨道方法依然能可靠的辨别出放电序列的周期1:Fig4为变换密度分布图，所用数据是起始点在500，宽度为512点;变换数据中随机化的数目为50000，乘法因子是3;发现沿对角线有两个大的尖峰值，其中一个的变换数据分布函数的尖峰大于替代数据集（100）最大峰的98%，我们认为观察到的这个周期1轨道具有统计显著性，即有一个明显的周期1轨道.周期2:Fig5为颜色编码密度图，所用数据是起始点在0，宽度为256点;变换数据中随机化的数目为10000，乘法因子是2;发现有一个呈镜像对称的点对，其变换数据分布函数中有大于替代数据集（100）最大峰的96%的尖峰存在.即认为观察到的周期2轨道具有统计显著性.周期3:Fig6为颜色编码密度图，所用数据是起始点在0，宽度为512点;变换数据中随机化的数目为5000，乘法因子是4;发现变换数据分布函数中有大于替代数据集（100）最大峰的95%的尖峰存在.即认为观察到的周期3轨道具有统计显著性.运用UPOs，其结果表明数据中包含着显著的确定性成分.
图1 － 图4 略
3 讨论
由于关联分维和非线性预报均是表征低维混沌系统的非线性动力学方法，因而，在用于神经放电序列的分析中，存在着不稳定的缺点.单纯用确定性统计方法确认实验数据中存在混沌性的可靠程度至今仍是值得讨论的问题，因此往往在实验中联合运用多种指标判定确定性成分，但这种方法对进一步判定不规则放电的节律特征却帮助甚微.
UPOs分析法从更为深入的动力学层次来认识不规则节律的确定性成分.考虑到具有确定性演化规律的不规则动力学才可能存在高置信比的UPOs分级，这种确定性判别方法具有更高可靠性［9］ ;而且，这种方法能在噪声水平达到吸引子尺度的10%的情况下，有意义地辨别出UPOs［7］ .通过实验我们可得出:UPOs的方法，可运用于短生物数据中，同时对于高维数据系统也有效.基于UPOs的分析工作，周期性递增的轨道分级中采用统计和描述UPOs的方法可以建立一个系统的动力学模型.在分级中逐步添加长的周期轨道可以增加模型的精度，在状态空间的这些UPOs的区域中可以嵌入动力学特性［10-12］ .
图5 －图6 略
参考文献
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