动作是智慧的根源

一、引言
　　#36817;半个世纪以来，皮亚杰心理学影#21709;着世界各国的中小#23398;教学，尤其是中小学#25968;学教学。皮亚杰指出：“ 动作是智慧的根源#8221;，①任何静态的数学概念都隐#21547;着认知主体的内在动作，数#23398;运算是一种广义的动作。② 这些观念为数学课#22530;教学所采纳，目前小学数学普#36941;采取动手操作（或以直观方式演示#26377;关操作）的方法。
　　然而，对于这些在教学实践#39046;域中早已被采用的观念与#26041;法，却缺乏深入的#30740;究，许多问题都停留在知其 然不知其所以然的层面——#25105;们知道数学运算是#19968;种广义的动作；但#23427;除了是一种动作之外，还存在哪些#21306;别 于一般动作#30340;规定性？同样我们也知道“#21160;作操作”会增进儿童的数#23398;知识与智慧；但能否认为任意#30340;动手操 作都有益#20110;儿童智慧的发展？在数#23398;课堂教学中如何指导儿童动手#25805;作？
　　本文试图就#20197;上问题作些探讨，以期#24341;起更深入的研究，并期望对进#19968;步改进小学数学课堂教#23398;有所裨益 。
二、数学运#31639;的内在规定性
　　1.反身性 数学#36816;算“甚至在其较高的表#29616;中，也是正在采取行动#19982;协调行动，不过是#20197;一种内在的与反 省的#24418;式进行的罢了……”③这里“#21453;省”与反身、反思是#21516;义的。
　　皮#20122;杰将个体认知活动划归为两类。一#31867;是对客体的认识；另一类是对#20027;体自身动作所进行的反思。前者 带来关于客体的知#35782;；后者带来数理逻辑知识。
　　#65339;实例］一个儿童摆弄10个#30707;子，他可以掂一掂以#20102;解其重量；可以摸#19968;摸以了解其表面的光滑度#12290;“重 #37327;”与“光滑度”是关于对象（#30707;子）本身的知识。此外，儿童#36824;有另一类动作，他将10个石子排列成不同的 形状，沿着不同的方向点数#23427;们，其总数“10#8221;总是不变的。这里，儿童将手指一#19968;地（不重复也不遗漏）#28857; 向10个#30707;子，是具体动作；从这种具体动作#20013;认识到总数“10”#24635;是不变，则是一种#21453;思，是反过来对自身的 具体动作进行思考。#20855;体动作可以有很多种（可以从不同#30340;石子开始，可以沿着#19981;同的方向进行），但总数的 “10”#21364;是恒定的。只有通过反#24605;，体会到这种“恒定”#65292;儿童才真正学会了#35745;数。
　　这里#25105;们看到儿童进行数学操作与运算#31163;不开具体动作，但具体#21160;作之后的反思比具体动作本身更#20026;重要 。儿童能#19968;一地点数石子，我们也能训练一只#23567;鸡——地啄石子，但小鸡不会了解#8220;10”这个数，因为它没#26377; 反思。
　　数学#36816;算因其反身性，还呈#29616;出一种层次性与相对性。高#19968;级的运算是对低一级#30340;运算所进行的反思、#21327; 调与#36716;换。乘法是对加法的“运算#8221;；乘方又是对乘法的“#36816;算”。
　　2.可逆性 “运算是一种可以逆#34892;的行动，即它能向一个方向进行，#20063;能向相反的方向进行。”#9315;我们可 以#25226;1和2相加得到3；反过来， 也可以用3减2而还#21407;为1。任何一种运算，总有一#20010;与之对应的逆运算。
　　学生用减#27861;验算加法（或反过来用加#27861;验算减法），用除法验算乘法（或#21453;过来用乘法验算除法），就是 因为这些运算是可以“#36870;行”的。对于“合”（加或乘）#30340;结果，我们可以用#8220;分”的动作（减或除#65289;使其还 #21407;到初始状态。
　　可逆性可以区分为两类#65292;一类是反演可逆（1＋2＝3#65292;反过来3 #65293;2＝1）；一类是#20114;反可逆（6比2多4，反 过来2比6少4）。 前#32773;表现为相反的操作；后者表现#20026;次序的逆向转换。
　　3.结合性 运算“是可以绕道迂回的#65292;通过两种不同的方法可#20197;获得相同的结果”#12290;⑤这就是所谓结合性 。具体到小学数学教学#20013;，结合性体现在两个方面。
　　#20854;一，体现在运算定律方#38754;：3＋4＝4＋3（加法的#20132;换律）；3 ×（4#65291;5）＝3×4＋3×5#65288;乘法的分配律 ）。这里，每个等式#20004;边是不同途径的运算，但其运算结#26524;却是恒等的；其二，体现在问题解#20915;的一题多解方 面。
　　问题：男生和女生共植#26641;450棵，已知每个同学植#26641;5棵，有男生46人。问：女#29983;多少人？
　　对于这一问题可以先求出#22899;生植树多少棵，再除以5， 得出女#29983;人数：（450－5×46）÷5＝44（人#65289;；也 可以先求两个#29677;共有多少人，再减#21435;男生46人，得出女生#30340;人数：450÷5－46＝44#65288;人）。两种解法，具体途 径不同，但结果#19968;样。
　　至此，我们将#21487;逆性与结合性综合起来考察，则#20250;发现数学运算总是隐含着某些#8220;不变的因素”。反演可 逆是以相反的运算（如#65306;以减法来验算加法）使其还原为初#22987;不变的状态。互反可逆是一种#30456;互转换，6比2多 4，2比6少4，这里差集“4#8221;是不变的。在运算规则里， 运算途径改变了#65292;但运算结果不变。在问题解决中， 具体解法可#20197;各异，但答案是唯一（不#21464;）的。
　　我们说，数学运算#26159;一种转换。在这种转#25442;过程中，并非所有的东#35199;都发生了改变，总是隐含着某种#19981;变 的因素。正是#8220;不变因素”的存在，#25165;使转换成为可能。
　　4.结构性 结构性运算，就其现实的#23384;在方式而言，“包括复杂的运#31639;体系，而不是被看作先于这些体#31995; 成分的那些#23396;立的运算。”⑥数学运算总是#20197;结构化的整体的方式#32780;存在。首先，每一#31181;数学运算本身就是一 #20010;结构化的动作。加法包括“合”的#21160;作，也包括计其总数据的动作（#36825;在学龄前儿童的实物#25805;作中，可观察 到；#23567;学一年级儿童，因熟练#32780;逐渐简约化）；其次，各种运算#32852;合起来，又构成一个大的结构，#21152;是“合” 的动作，减#26159;“分”的动作；乘是加（#25110;合）的简便运算，除是#20943;（或分）的简便运算；加减互为#36870;运算，乘 除互为逆#36816;算。这许多关系，使四则运#31639;联合成一个大的整体。
三、课堂教学中#65292;指导学生动手操作应注意的#38382;题
　　在#26126;确了数学运算的内#22312;规定性之后，我们将依照这#20123;规定性，提出在课堂教学中#25351;导儿童动手操作应注 意的问题。
　　1.引#36215;反省 从以上分析#20013;我们了解到，数学运#31639;是一种反思，具体动作之后#30340;反思比具体动作更为重#35201; 。具体到课#22530;教学中，我们在指导学#29983;动作操作时，不应停留#22312;为操作而操作的层面；而应引导学#29983;对其操作 进#34892;思索。以分数概念的#25945;学为例，通常的教法是将分数的#20855;体“操作”和盘托出、呈现给学#29983;。如：将一个 #39292;平均分成两块，每块是它的1／2#12290;这样的做法只能让学生#29031;葫芦画瓢一样地模仿，而不能调#21160;学生内部的思 考过程。
　　一#33324;而言，分数是小学生数概#24565;的一次大的扩展。此前，儿#31461;能用加减法层面的“#24046;集”（6比2多4）或乘 除法层面的“倍数”（6#26159;2的3倍）来表示二数比#36739;关系。在倍数中，比较量一般大#20110;（或等于）标准量；#20998;数 的引进是要解决#19968;个全新的问题：当比较#37327;不足一个标准量时#65292;如何表示二数关系。
　　关于分数概念#65292;这里设计了一种与通#24120;的教法不同的方案，其宗旨在#20110;引起学生思考。 转贴#20110; 免费论文下载中心
　　关于“#20998;数概念”的课堂设计：
　　准备：在黑板上用#19981;同颜色的粉笔画好三条长度不#21516;的线段，准备一根60厘米#38271;的木棒（无刻度），#32447;段 长度分别是木棒#30340;3倍、1倍、 1／3#12290;
　　木棒────
　　白线：──#9472;──────── ─────#9472;──白线长度是木棒长度的3倍
　　#32418;线：──────── 红线长度是木#26834;长度的1倍
　　绿线：─ 绿线长度是木棒长#24230;的？
　　教师［演示］：用#26408;棒分别量白线与红线，并#26495;述；然后量绿线，#25552;问。
　　教#24072;：绿线长度是木棒长度的#22810;少？
　　学生：#8230;…没有一棒长。
　　教师：没有“#19968;棒”长，怎么表示#65311;
　　学生：（有的提#20986;）拿刻度尺把木棒和绿线都量#19968;量。
　　教师：（量得绿线长20厘米，木棒长60厘米）那么#65292;绿线长度是木棒长度#30340;多少？
60厘米
　　学生：木棒是绿线的3倍。
　　教师#65306;这是我们以前学过的“倍数”#65307;现在，我们反过来说：以#26408;棒为标准，绿线是#26408;棒的多少？
　　［#28436;示］比着绿线将木棒3等分#65288;用粉笔在木棒上画刻#24230;）
　　［继续提问#65341;现在想一想，怎样#34920;示“绿线是木棒的多少？”#65289;
　　……
　　#23548;出：将木棒3等份，绿线是3#20221;中的1份。
　　进而导出：绿线是木棒的1#65295;3。
　　并将“倍数”与“分#25968;”统一起来：都可表示两个数#30340;比较。
　　#36825;种方案较之于“和般托出”直#25509;告诉学生的教法，更能调#21160;学生积极的思考过程。也只有进行#36825;样的思 考，儿童才#33021;真正明确分析所蕴含#30340;内部操作。
　　将有关“操作”和#30424;托出，不注重激起学生#8220;反思”的教法，与两种#19981;恰当的观念有关。其#19968;是把数学运 算等同于具体动#20316;；其二是认为内在运算是#23545;外在动作的简单模仿。#20854;实，数学运算应该包括三#20010;呈递进关系 的成分#65306;（1）具体操作；（2）#23545;具体操作的反省与反思； （3）在反思过程中进行某种#36716;换或重组。
　　转换是对具体#21160;作的转换，重组是#23545;原有的、已习得的操作的重组。儿#31461;在接触到分数之前，已学会了“ 比较”（一个数是另#19968;个数据的几倍）与#8220;等分”（除法）。现在面#20020;新的问题：比较量不足一个#26631;准量。在 上述方案中，问题解决#30340;过程，是学生积极思考的过#31243;，也是重组原有“比较”与“#31561;分”等内部操作而构成 分类操作的过程#65288;分数的内部操作包括：比#36739;二数；等分标准量等）。
　　2.体会“必然” 在上一小节中，我们#24378;调在让学生动作操作的同时#65292;应引导他们对具体动作进行反#24605;， 并#22312;反思过程中进行转换与重组。但数#23398;运算还具备可逆性与结合性的#29305;征也就是说在转换过程#20013;，并非所有 的因素都#21457;生改变，而总隐含着#26576;种不变的因素。由于某些不变#22240;素的存在，数学运算显示出一种#24517;然性。1＋ 2#19968;定等于3；3×5 一定等于15；#960;＝3.1415…是#22278;周与直径的比率，不是#20154;为规定的；在两个班共同#26893;树的实 例中，解法#19981;同而得数是不变的。
　　对数学运算的#24517;然性的认识，往往是一种不自觉#30340;“必然之感”。这#31181;必然之感的获得，是儿童#24418;成数学 运算的标志。
　　#25351;导学生认识数学运算#30340;必然性，可利用日常的实例。数学#36816;算往往都有其现实原型，而且有些#21407;型能明 #26224;地表征相应运算的涵义。如：教#20056;法口诀时，可让学生数一数一面#31383;子的格数。如果竖着有4#34892;， 每#34892;5格， 那么就是5#215;4＝20格。 四五二十的口诀就存在于#25105;们对这扇窗子的计数活动之中。它#19981;是人为的任意编出的口 诀，而是“必然”#30340;。
　　3.融会贯#36890; 数学运算#26159;以结构的方式而存#22312;的。结构化不是将不同的运算（或#25805;作）简单地拼凑成#19968;个 整体，而是要消#38500;各种运算（或操作）之间的“#30683;盾”、以达到相互协调。
　　“关于‘分数概#24565;’的课堂设计”将分数概念#25918;在数概念的扩展（从倍数到分数#30340;扩展）之中，具体设#35745; 了一个#38382;题情境：比较量不足一个#26631;准量（此前，在“倍数”中，#27604;较量总是大于或等于一个标准量#65289;，如何 #34920;示二数关系。学生面对这#19968;“矛盾”、积极思考#12290;消解矛盾的过程，同时也是各#31181;操作（倍数与分数）协调 、统一而融会#36143;通的过程。
四、结语
　　综上，可以明确#65306;（一）对小学生而言，#25968;学运算既包括具体的动手操#20316;，也包括对动手操作的#24605;索。后 者比前者更为重要。（二）数学#36816;算总是隐含着“不变#30340;因素”，具体体现在逆向#36816;算、 逆向转#25442;（6比2多4 ，那么2比6#23569;4）、运算规则以及问题#35299;决的一题多解等方面#12290;（三）数学运算总是以结#26500;化的方式而存在。
　　在于数学运算#30340;内在规定性，本文提#20986;（一）课堂教学中，在指导学#29983;动手操作（或演示有关操作）时#65292; 应引起“反省”。#23567;学儿童离不开具体#21160;作的支持，但对具体动作的思索#26356;为重要。（二）在指导学生#21160;手操 作的过程中，让#23398;生体会到“必然”#20043;感，必然之感的获得#65292;是数学运算形成的标志。（三）#22312;动作操作过程 中，指导学生#36890;过思考，将各种运算联成整体#65292;融会贯通。
　　①②⑤⑥皮亚杰：《智慧心理#23398;》，中国社会科学#20986;版社1992年版，第33#39029;；第18—19页。第36页#65307;第42 页。
　　#9314;皮亚杰：《教育科学与儿童#24515;理学》，教育文化出版社1981年版，第30页。
　　④皮亚杰：《发生认识论#12299;，《教育研究》，1979年#31532;3期， 第91页。
免费论文下载中心