再谈面向新世纪的数学课程

义务教育的新数学课程#21644;教材从去年下半年开始已#22312;全国普遍实施和使用。#20041;务教育的数学课程有一#20010;基本精神，就是要从应试教育#36716;到素质教育，这个转#21464;涉及到教育思想、教育目标、#25945;学目的、教学内容#12289;教学方法和手段等各个#26041;面。要实现这些转变，绝不是编#36753;出版几套新材料就完#20107;的，何况新教材也只#26159;一个阶段性成果，随着对新世纪#25361;战的认识的提高还会有新的改革。#25152;以实施义务教育的新数学课程是#19968;个长期、艰巨的改革过程。#20170;天我不打算全面阐述这个过程，也#26159;我力所不及的，我只#24819;提供一点“参考消息”，看#30475;国外一些人是如何议论迎接新世#32426;挑战问题的。我想#32508;合一些研究成果或#26377;倾向性的预测，描述#19968;下面向新世纪的数学课#31243;。
　#12288;1、条件的重大变化
　　我#20204;从分析影响数学课程变革的条#20214;的重大变化开始。
　　首先，#25968;学的社会需要有很#22823;改变。随着经济适应信息时#20195;的需要，每个部门的#24037;作人员？？从饭店服务员#21040;秘书，从汽车修理工到旅#28216;代理人？？都必须懂得计算机控#21046;过程。现在大多数职#19994;都要求从业人员具有分#26512;能力而不单纯是机械的操#20316;技能，所以绝大多数学生需要#26356;多的数学能力作为普通职#19994;的准备。同样，在#27599;天的报纸和公众的政策讨论#20013;都广泛使用图表、统计数据。为#20102;更有效地参加社会生活不能#19981;要求普通公民具有更高标#20934;的数量意识，市场经济需#35201;人们掌握更多有用的#25968;学。随着承包制、股份制、租凭制#30340;进一步推行，市场经济的逐步完#21892;，无论是城市还是#24191;大农村，生产者也将成为经营者，#22240;而，成本、利润、投入、产出#12289;贷款、效益、股份、市场预测#12289;风险评估等一系列经济词汇#39057;繁使用，买与卖、存款与#20445;险、股票与俩券……几乎每天都会#30896;到。相应地，与这些经济活动#30456;关的数学，如比和比例、利息与#21033;率、统计与概率、运筹与优化#20197;及系统分析一决策……就应成为中#23567;学要学的数学了。
　　科学技术的迅速发展，#29305;别是信息时代的到来，要求人#20204;具有更高的数学修养#65292;现代高技术越来越表现为一种数学#25216;术。高科技的发展、应用，#25226;现代数学以技术化#30340;方式迅速辐射到人#20204;日常生活的各个领域，#26234;能机器人、办公自动化以及计算机#20648;蓄、售货等电子产#19994;将高速发展，到下个#19990;纪，一个普通老百姓要#26159;“计算机盲”，将会像现在#30340;文盲一样不适应现代生活。
#12288;　生活中需要越来越多的#25968;学语言。各种统计图表#65292;数学符号向各行各业普通老#30334;姓传递着大量信息。
　　其次，数学及#20854;应用有很大变化。最近二三十年数#23398;的性质及其应用的#36884;径发生了巨大变化。不仅发现了#35768;多新的数学领域而且应用#25968;学的问题类型以空#21069;的速度增长了。当然#65292;最显著的是计算机的发#23637;和计算机应用的爆炸性#30340;增长。这些计算机应用的#32477;大多数都要求发展新的数学#65292;在计算机出现以前不#21487;能在这些领域应用的数学，虽#19981;显著，但同样重要#30340;是在用广泛应用性的统一概念#32852;系起来的几个主要#25968;学分支中产生的大量#24605;想财富。学生必须学#20064;在这些应用中使用的数#23398;以便掌握数学的威力#21435;解决实际问题。
　#12288;数学的发展使人们#23545;“数学是什么”的认识有#21464;化。数学是一门科#23398;。观察、实验、发现、#29468;想等数学的实践部分和任#20309;自然科学是一样多的。尝#35797;和错误、假说和调研，以及度量和#20998;类是数学家常用的部分#25216;巧，学校应当教。实验#23460;作业和实习作业对于理解数学是#20160;么及其如何使用不但#26159;适宜而且是必需的。#22312;数学实验室里计算器和计算机#26159;必需的工具。实际数据（科学实#12289;人口统计、民意测验等的数据#65289;，观察和度量的对象（骰#23376;、方块、球）是作图#24037;具（尺子、细绳、量角器#12289;胶泥、坐标纸）都是必需的#12290;
　#12288;像生物是有机体的#31185;学，物理是物和能的科学一#26679;，数学是模式的科学。这种#34920;述至少可以回朔到笛卡#20799;，他把数学称作“序的科#23398;”，后来物理学家斯梯#25991;？温伯格（Steven Weinberg）用它去解释数学#39044;测自然的神奇能力时作了改进。#31867;似地把数学看成“模式与关系”的#31185;学，形成了在《美国大众科#23398;》(Science for All Americans)中表述数学#30340;基础。通过它们的所有表#29616;形式？？数、数据、形、序、#29978;至模式本身来划分、解#37322;和描述模式，数学确信科学#23478;遇到的任何模式都可以在某处解释#20026;数学实践的组成部#20998;。
#12288;　模式在数学的每个方面都是明显#30340;。学生学到算术如何#20381;靠数的规则性；他#20204;能够看到乘法表中的次序，而#19988;惊奇素数模式中的#26080;次序。多面体的几何展#31034;了规则性，在自然和建筑中它经#24120;出现。甚至统计这门研究是无序#30340;学科，也依靠把模式展示成估价不#30830;定性的码尺。
　　数学也是一#31181;交流形式，它是自然语#35328;的补充，所以数学不仅是一门科#23398;，而且数学也是一种语#35328;。不仅是自然所说的语言，而且也#26159;商业、贸易的合适语言。
　　数学科学现在是自然#31185;学、社会科学和行为科#23398;的基础。由于计算机和世界范#22260;的数字式交流的支持，#21830;业和工业都越业越依靠不仅是#20256;统的而且是现代数学的#20998;析方法。数学可以作商业和科学#30340;语言准确地是因为数学是描#36848;模式的语言。用它的符号和句#27861;、词汇和成语，数学语#35328;是交流关系和模式的通用工具。#23427;是一种每个人都必须学#20064;使用的语言。
　　如果说#25968;学是模式的科学和语言，那么#35201;学懂数学就是要去研究和#34920;示模式之间的关系：在复杂、模#31946;的环境中能够辨明模式；#29702;解并变换模式间的关#31995;；对模式分类、编码、描述；用模#24335;的语言读写；并使用#27169;式的知识运达到各种实际目#30340;。要掌握模式的多#26679;性，数学课程需要介绍和发展多种#19981;同类型的数学模式。数学要研究的#27169;式不限于算术法则，所以中学数学#37324;研究的模式必须打破人为#30340;限制。
　　#19968;个搞数学的人，他搜集、#21457;现、创造或表达关于模式的事实#21644;思想。数学是一种创造性的、活跃#30340;过程和被动地掌握概念#21644;程序很不相同。事实、公式和信#24687;有多价值只有看它在多#22823;程度上支持有效的#25968;学活动。虽然有些基础的概#24565;和程序所有学生都必须知识只#26159;是教学应当坚定地强调，学数学#26159;要追求去理解、去交流，而不仅#20165;是去计算，通过展#24320;模式的基本原理，数学可#20197;使脑子成为处理现实世#30028;问题的有效工具。从这些观点能#22815;为下一个世纪导出有效的#12289;能动的中学数学课程。
　　第#19977;，新技术的作用有很大#21464;化。计算器和计算机已#32463;深刻地改变了数学#19990;界。它们不仅影响到什么数学是重#35201;的，而且也影响到如何做数学，现#22312;袖珍计算器上能够做#20960;乎所有幼儿园到两年制#22823;学教的数学技术，仅只这#19968;事实（巴斯卡的梦在我们这#20010;时代实现了）就必#23450;会大大影响数学课程。虽然学科的#26368;前沿的发展一般不会对早期的教#32946;产生主要影响，但是由计算机和#35745;算器带来的数学中#30340;变化如此深刻，需要重新调整#20013;学数学中各课题的处#29702;方法和它们之间的平衡。
　　比如对发展常规计算技#33021;的重视程度应降低，这#23601;会有更多的时间来发展对数学#36807;程的理解和推理能#21147;；易于开发一种课程，可能加强近#20284;计算和估算。一个学生#33021;准确作2507×4131的乘法#21644;能够说出结果大约是#19968;千万，哪个更重要些#21602;？常常一个近似的答案不#20165;已经足够，而且比精确答案需#35201;更多的洞察力，而#19988;近似答案可以给精确结果提#20379;快速检验;可以开发强调各种#25968;学方法的更广的课程.
#12288;　计算器和计算机不仅改变了什么#25968;学重要，而且也改#21464;了数学应当如何教.#23427;们把困难的变得容易，使不可行的#21464;得可行.例如，计算#26426;能够显示和操作像三#32500;的形状复杂的数学对象。使用#35745;算机，学生能够解决与他#20204;日常生活有关的现实问题和能够激#21457;他们对数学产生持久的兴趣#12290;计算机能把教师解放出#26469;去完成只有教师才能完成的任务#12290;比如和学生一起去探索、猜#24819;。计算机提供了一种#21160;态的、画图的手段；它还提供了许#22810;有效的途径去表达数学思想。
　　新技术使数#23398;更加现实，计算机出现#20043;前，难以完成现实问题所#35201;求的计算，有了计#31639;机计算不再是障碍，只#35201;问题能被学生掌握，就能解出#12290;实验中得到的现实数据可#20197;得到分析处理。表达重要物理#29616;象的方程可以解出。许多精深的#27010;念用计算机比用其他#20219;何更能做得易理解。
　　第四，对学生学习的理#35299;有变化。学习不是一#31181;被动地吸取知识，并通过反复练习#65292;强化储存知识的过#31243;，而是学生原有知识处理每项#26032;的任务，同化新知#35782;，并构建他们自己的意义，再者，#19968;些思想、概念在记#24518;里不是孤立的，而#26159;有组织的并且和他过去用#30340;自然语言及遇到过的#24773;况相联系。这种对学#20064;的积极的、构造性的观点必须#22312;教数学的途径中反映出来。
　　2、通向未来的转#21464;
　　美国#25968;学科学家教育委员会、#25968;学科学家委员会以及2000年数学科学委#21592;会提出的《人人有份》（Everybody Counts）这#20221;报告中预示这次数学课程改#38761;要实现七个重大的转变写道#65306;“为了迎接时代的挑战#65292;数学教育正要处理几个困难的转变#65292;这些转变将支配本世#32426;剩下这段时间的改#38761;过程”。这七个转变#21487;以概括数学教育，特别是#25968;学课程改革的趋向和前景。这七个#36716;变是：
　　第一，中#23398;数学的目标应从双重使命（为#22810;数人的数学很少，为少数人的数学#24456;多）转变到单一目标：为#25152;有学生提供重要的、#20849;同的核心数学。由于工业社会#12289;信息社会对劳动力的需#27714;是要他们有更高文化修养，所以要#32473;所有学生提供更多的#25968;学教育，所要要发#23637;适合于每个年级所有#23398;生的核心数学课程，即要面向大多#25968;，甚至是所有学生#65292;要大多数公民甚至#26159;全体公民都学好数学#65307;对能力强的学生还#35201;用数学去激励他们；在教学中用#26041;法和进度而不是用课程#30446;标来区分；选择普遍#26377;趣的课题和有效的教学#26041;法。
　　第二#65292;数学教学从“传授知识”的传统模#24335;转变到“以激励学习为特征#30340;，以学生为中心”的实践模式#65292;由学生被动听讲的课#22530;变成学生积极主动参与#30340;像下面这样的学习环境：鼓励#23398;生去探索；帮助学#29983;表达自己的数学思想；让#23398;生看到许多数学问题不只一个正#30830;答案；提供证据，证明数#23398;是生动的，激动人心的；#20351;学生体验到深入理解和严格#25512;理的重要性；使所有学#29983;都建立起能够学好数学的#33258;信心。
　#12288;第三，公众对数学的态度从冷漠#21644;敌意转到承认数学在今#26085;社会中的重要性。通过#29616;代事件传送的信息，使公众认#35782;：期望高的地方，数学要得也多；#38543;着科学技术作用的增大，数学#30340;重要性也增加；对于有文化的#20844;民发挥作用来说；数学文化同文#21270;一样重要。
　　#31532;四，数学教学从热#34935;于无数的常规练习转到发展基#30784;宽广的数学能力，学生的数学能#21147;应该要求达到能够辨明#20851;系、逻辑推理，并能运用各种数学#26041;法去解决广泛的、多种多样的#38750;常规问题，要求今天#30340;学生必须能够：进行#24515;算和有效的估算；#30693;道在某一特定条件下适于使#29992;哪种数学运算；能够正确、自信和#24688;当地使用计算器；会估计数#37327;级以确认心算或计算器#35745;算的结果：会使用表、图、电#23376;数据表(Spreadsheet)和统计技术去#32452;织、解释和表示数值#20449;息；能判断别提供#30340;数据的可靠性；会使用计#31639;机软件去完成数学任#21153;；能从模糊的实际课题中去形成一#20123;特别的问题；会选择有效解#20915;问题的策略。
　　第五，数学#25945;学从强调为学习进一步的课#31243;的需要转到更多地强调学#29983;今天和将来所需要的课题，大多#25968;的数学内容都要在#23427;的运用的情境中来呈现，它的#36923;辑体系要随年级的提高慢慢地建#31435;起来。值得更加强调的课题#21644;领域，作为例子，可#20197;举出：概率，它便于不#30830;定性地说理和对风#38505;的估价；探测数据分#26512;和统计，它便于关于数据#30340;说理；建模，它可以增#36827;对复杂情形的系统的、结构性的理#35299;；运筹学，它便于复杂任#21153;的计划和行为目标的达成；#31163;散数学，它便于对大多数#35745;算机应用的理解。这些课题#21644;领域将会使观察和实#39564;在未来数学大纲中占重要地#20301;，将使数学和其他科目，#29305;别是和自然科学科目更加靠近。
　　第六#65292;数学教学从原始的纸笔计算转到#20351;用计算器和计算机，各级#25968;学教师正使他们的教学方法和#31185;目适应于未来的课程。计#31639;器和计算机使得新教学模式成#20026;可行的同时给学习环境注#20837;一种特别的惊异的感觉，它将伴#38543;数学能力的健康发展#12290;
　　由于技术发展#35745;算器和计算机的使用方法也要#25345;续地迅速改变。应当#20351;用新技术不是因为#23427;有魅力，而是因通过扩充#27599;个学生的数学能力它通顺#25552;高数学学习，计算器和计算机#19981;是去代替用功和严密思维，而是#29992;作争取好成绩的武器#12290;
　　第七，#20844;众对数学的理解从“随心所欲的#27861;则的不变教条”转#21040;“关于模式的严格而生动的科学#8221;。数学是一门生动活泼的科目#65292;它寻求蕴藏于周围世界#21644;我们头脑中的模式。这个转#21464;要求课程内容和教学方式两个方#38754;的变革：寻求解法，#19981;仅是记住步骤；探索模式，不仅#26159;学习公式；形成猜#24819;，不仅是做练习，当#25945;学开始反映这些重点的#26102;候，学生将有机会像这#26679;去学习数学：作为探索性的、#21160;态的、进展的科目，而不是作为#20725;死的、绝对的、封闭的#19968;组被记住的定律去学习，学#29983;将被鼓励去把数学看作一门科学#65292;而不是看作教规，并且认识到：数#23398;是关于模式的科学而不仅是关于数#30340;科学。
#12288;　3、建立新数学课程的原则前面#24050;经谈到促使数学课#31243;改革的条件变化和改革的方向。#25226;数学看成模式的科学和语#35328;的观点为新数学课程奠定了#22522;础，改革仍可采取多#31181;形式，但它应该遵#24490;一些基本原则。美国数学#31185;学教育委员会在《重#24314;中小学数学》（Reshaping School Mathematics）一书中提出了六条原#21017;：

　　原则1：#25968;学教育必须集中于发展#25968;学能力数学能力使学生理解#25968;学概念和方法并且在各#31181;情况下辨明数学关系。它帮助学#29983;逻辑地推理，解决各种问题，#24120;规的和非常规的问题#12290;数学能力要求学生能#22815;用数学方法阅读文献#65292;能够用口头和书面的形式表#36798;数量的和逻辑的分析。

　　数学能力强#30340;学生能够在他的职业和日常生#27963;中使用数学。他们将#26159;数学思想的明智使用者，接受或者#25298;绝表面上有数学论证的主张，他们#23558;会数学地看事情，知道什么时#20505;数学的分析有助于解释清问题。#20182;们将有充分的数学知识去择业和进#19968;步学习要求精通数学的学#31185;。

　#12288;数学能力不包括交流#25968;学的才能。除了知道如何解#20915;问题以外，学生还必须会#38405;读并理解数学课本并且会口头#21644;书面地把数学研究和#38382;题解决的结果向别人表达。所以，#25968;学课程必须提供适当#30340;情境，让学生能够学#20064;读数学、写数学、说数#23398;。

　　原则2：数学课程从#22987;至终都应当使用计算器#21644;计算机学生只有把数学看成配称#29616;代的科目才能获得数学能#21147;。新课程教材必须设计得能#20174;科学技术的进一步发展预期不断#25913;革。在数学中，不积极参与#25968;学的交际活动过程#65288;猜想与争论、探索#21644;推理、问题提出和解决、计算和#26816;验），一般不可能达到理解#12290;计算器功能像“快笔#8221;，所以能够使数学过#31243;比用纸笔更有用、#26356;有效率。同样，计算#26426;能使学生算得快、画得快，快速地#27169;似过程，使用其他任何手段是难以#20316;到的。所以使用计#31639;器和计算机的教学比#20256;统教学更有潜力，更能使学生获得#28145;刻的理解。

　　原#21017;3：恰当的应用应当是课#31243;有的机组成部分学生需要在自然#22320;产生数学思想的情境？？从简单的计算和度量到商业#21644;科学中的应用？？中#20307;验数学思想。计算器和计算#26426;使得在课程中能够引进实际应#29992;。

　　一项#24212;用是否恰当重要的标准是看它是#21542;能引起学生兴趣。是否是激发他们#30340;数学思维，有吸引力的应用#24212;当取自儿童生活的世#30028;，取自社会事件，或课程的其#20182;部分，不仅取自自然科学，也要#21462;自商业、地理、艺术和其他科#30446;。

　　#25945;学的基本目的应当是让学生学会在#21453;映实际应用的情境中使#29992;数学工具。数学思想总是应当在有#24847;义的数学活动的情境#20013;呈现和发展。

　#12288;原则4：课程的每一部分#37117;应当由其本身的价值来证明其必要#24615;。

　　数学提供了如此#20016;富、大量有趣、有用的思想，#20197;至难以挑选。然而，课程#20013;不能仅仅因为现在已经#26377;了的概念或技能就应当保留#12290;虽然在现在的课程#20013;有许多是有效的，但是我们不能再#25226;“课程中已经有了#8221;作为这个课题应当保#30041;的主要理由。我们需要“从零#24320;始”，没有一个思#24819;不作仔细考查。

　　修订课程不应当只是增加更#22810;的课题，而是确立重点，#26377;些重点应当取消，有#28040;增加，有些保留。甚至对于确#23454;要保留的重要重点，现代应用#25110;现代技术可以作十分不同的处理#12290;常常一种新颖的处理方法可以避免#38459;止必要改革的思想僵化。

　　原则5：课程的#36873;材应当和中小学数学的现代化标#20934;相一致。

　　新的“#20013;小学数学课程和评价#26631;准（NCTM，1989#65289;提供了一类课程标准的范例，应当#29992;来作评定中小学数#23398;课题的价值的标准。课程的选材应#24403;和这些课程标准相一致，改革的步#23376;如此巨大，甚至现在的课程#25351;南未适应明天的需要#12290;课程改革要求持续地努#21147;，植限于学校的现实，#30446;标坚定地指向未来。

　　原则6：各级的数学教学都应当#20419;进学生积极参与恰当使用新#25216;术要求有新的数学#25945;学方法，使学生成#20026;更积极的学习者。除了使用新技#26415;之外，关于学生如何学#20064;的研究提出了更多教数学#30340;有效方法。数学教学必须适#24212;这两方面的发展，大多数的#25968;学教学不再适于传统的老师教#23398;生被动地听的模式。

　　没有单独的一种教#23398;方法。也没有单独的一类#23398;习经验能够发展各种#25968;学能力。需要的是各种活动，包括#23398;生之间的讨论，实习作业，重要技#26415;的实践。问题解决，日常的应用#65292;调研工作，以及教师讲解。

　　教师应当是催#21270;剂，他帮助学生学会自己思考，他#20204;不应当只扮演教育者，其作用#21482;是告诉学生“正确方法”。此外#65292;课堂活动应当给学生提供充分的#26426;会用书面和口头的数学语#35328;彼此交流。

　　一个有用的比喻#26159;，教师是一个明智的#36741;导员，不同的时间，#35201;求教师充当以下不同角色#65306;

　　模特儿#35282;色，他不仅演示正确途径#65292;而且也演示错误的#24320;端和高级思维技能，引导去#35299;决问题；顾问，他帮#21161;个人、小组、全班决定他们的工#20316;是否保持了主题，进展得是否合#29702;；仲裁人，他提出#24635;是让学生考虑，但#25226;决定留给全班去做；对话者#65292;他支持学生在班上发表意见#65292;鼓励他们靠自己的活动去做出#21453;应，靠自己去探索数学；询问者，#20182;鞭策学生弄清他们做什么才#26159;合理的、有目的的，使#23398;生确信他们能够捍卫自己#30340;结论。（未完，待续）

　#12288;

　　再谈面#21521;新世纪的数学课程#65288;续）

　　4、新数学课程目#30340;数学教学有几个非常不同的目的#65292;它们是数学在社会中#30340;作用的反映。它们是：

　　实用目的：帮#21161;个人解决日常生活#38382;题。

　#12288;公民目的：使公民能够明#26234;地参加公民事务。

　　职业目的：为学生#25214;工作、就业、或学业#22791;作准备。

　　文化目的：传递人类文#21270;的主要因素。

　　为达到这些目的#25152;必需的数学知识在二十#19990;纪已有了巨大变化。以后#36824;将比以前变得更快。前面在讨论#26465;件的重要变化时已涉及#65292;这里不再赘述。 免费论文下载中心

　　这里#35201;谈的目的是前面的一般原则的#20855;体化。它们可以为新的数学#35838;程提供一个构造性#30340;框架。

　　第一#65292;小学数学的基本目的是#21457;展数的意识(Number Sense)学生用数#20540;住处去有效地说理的能力要求#26377;以下的体验：

　　表达？？用#25968;表达数量和数量关系的能力。

　　操#20316;？？熟练一位新的算#26415;；决定适当的算术程序的能力#65307;熟练估算；选择适当方法进#34892;复杂计算的经验。

　　解释？？从#25968;据中抽取结论的能力和#20026;了准确性和合理性去#26816;验数据和结论的能力。

　　小学教学应当使用具体#26448;料、计算机软件和计#31639;器。应当强调心算#65292;特别是估算多位数#35745;算和结果，同时应当大大削减#25945;多位数、分数和小数的传统笔#31639;方法的时间。用这种观点处#29702;算术的小学课程将同今天教的普通#31639;术显著不同。今天的小学数学的中#24515;任务是发展整数、分数、小#25968;的各种运算的手工技АＲ？？#38742;母锝萄В？辉偾康髡庑┛翁猓？？黾铀道怼⒎⑾帜Ｊ健⒈婷髡？#28902;绦蛞约俺槿〗崧鄣幕？#24148;？庋？才抛胖氐愕男⊙？？Э纬袒崾故？客#35780;淼乃？蓟竦镁？说慕？健？
　　第二，#23567;学数学应当为数学打好一切#26041;面的基础如果学生为就业#21644;日常生活作更好的数学准备#65292;小学数学就必须包括比算#26415;更多的科目：

　　几#20309;，包含二维、三维对象的性质#65292;对称和全等，几何图形的作图和#20960;何图形的变换；度量，#21253;括度量单位，报时#65292;量温，算钱；数据#20998;析，包括搜集、整理、表示和解释#25968;据；制作统计图表；#20197;及用数据去作分析和预测；概率#65292;介绍简单实验和数据搜集#65307;离散数学，包括基础组合#24605;想和用图作问题模型。

　　每#20010;这样的课题都能够起到使小学数学#35838;程更有趣、更适合学生的#26174;著作用。几何提供了#30475;物理世界的明显窗户，#29616;在通过计算机画图更提高#20102;明显程度，在数学里和在生活#20013;一样，一图值千言，度#37327;即使很年轻的儿童也能提供#26377;意义的应用。并加强数#30340;概念。数据分析提供了有趣、#21512;适的问题的源泉，#27010;率也如此，它还能和#29087;悉的游戏联系。代数的一些概念#33021;把学生引向简单的抽象，而离散数#23398;提供一些课题，使数#23398;能与许多领域联系#65292;特别是和计算机联系。

　　另外，教学#24212;当是综合的，使得不同领域间的关#31995;得以领悟和加强。比如，教师应当#21152;强算术在几何和概率#20013;的应用，以及几何概#24565;在数据表示中的使用。

　　第三，在一#20999;教学和评估中都应当使用计#31639;器计算器在学校数学中从幼#20799;园开始就应当作为设#22791;使用。儿童用来发现数的关系#21644;解决问题。把大多数纸笔计算#35757;练换成用计算器的教#23398;本身不是万应药。不#21160;脑子的训练用纸笔和用计算#22120;是一样的，但是用计算#22120;可以让学生进行加强发现和探#32034;的活动。用纸笔计算是作不到的。

#12288;　学会什么时候如何使用加减乘除#23545;学生总是重要的。但是标准算法的#21453;复训练并不显然会导致理#35299;。数学教师必须利用计算#22120;教学的好处作为工#20855;去帮助学生获得理解#12290;

　　第四，学生应#24403;使用现实事物和现实数据学#20064;数学观察对数学和对科学#19968;样是基本的。儿童学习数数和算#26415;时需要摆弄现实的东西。学#20064;数学的儿童要发展长#24230;、面积、体积和形状的正确直觉#24517;须画、切、折、注、量#12290;

　　各年龄段的学生#37117;必须经常探索学校数学中#23398;到的比较原始的模式#38388;和紊乱的现实世界#23454;际资料数据间的关系。现#23454;数据比编造的更可信，#25628;集数据的行为，不管是测量#30340;、数出的、民意测验的、实验的，#19981;是计算机模拟的数据，#21487;以丰富儿童的学习活动。而且#24230;量出的数据和计算出的数据之#38388;，即实验的和理论#30340;数据之间的不可避免的交流#20250;获得数学的完整科学。

　　第五，中学数学#24212;当强调实践的数学能力如果说教学#26159;要给学生数学能力#65292;那么在各年级都必须始终强调问#39064;解决。学生需要领会比教材本身更#22810;的数学。事实上，推理训#32451;能使他们接触并解#20915;日益增加难度和复杂程#24230;的问题。在整个课程中重要的是#24378;调问题而不仅是练习。

#12288;　扩充小学数学课程有个重要涵义#26159;进入中学数学。中学各年级不应#24403;看成巩固的时间或者暂停歇息#30340;时间，而应看成儿童的数学发展#30340;基本部分。中心应当是日常生活的#25968;学，一个富有激发性的主题#65292;它会自然地导出许多重要#30340;数学课题（如数据分析、几#20309;度量、利率、与电子数#25454;表分析(Spreadsheet analysis)#12290;理解小学数学的概念对学#20064;中学数学是根本的；#28982;而，手算的熟练程度不应当再#20316;为评定学生为进一步#23398;习的准备程度的标准。

　#12288;第六，学校数学与其他#31185;目应当相互加强数学发展的动#22240;许多与科学有关，在学#26657;里数学和它的任何应用之#38388;不有可贵的纯朴的联#31995;。数学的应用已经远远超#36234;了自然科学，扩展到#20107;业、社会科学、地理、和各种职业#21450;商贸领域。儿童能够在探索的情#22659;中学到很多数学。高中学生#38656;要在自己的数学课上#20307;验应用。同样在其他课上使用数#23398;。

　　因为数学是科学的语言#21644;模式的科学，数学#21644;科学之间的特殊联系远比理论和#24212;用之间的联系多。数学探#31350;的方法和科学方法#37117;集中注意探索、调研、猜想#12289;证明、推理。科学与数学之间的学#26657;这条纽带应当特别帮助加强#23398;生对这两个领域的掌握。

　　第七，中学数学#35838;程的主要目的应当是发展符号意#35782;(Symbol Sense)小学过渡到中学特征是从具#20307;对象转到抽象符号。发展顺#30021;使用符号和其他抽象名称（可能是#20960;何的、代数的、或算#27861;的）的能力必须是中学数学的中心#30446;的，学生有效使用符号去推#29702;的能力要求有以下的体验：

　　表达？？用#31526;号形式表达数学问题并在关系、#24335;子、和方程中使用这些符号#34920;达式的能力；操作？？确定适当的#31526;号程序和选择适当的方法解决用#31526;号形式表达的问题的能力；#35299;释？？用符号系统推理得出结论#24182;检验这些结果的准#30830;性和合理性的能力。

　　当然计算#22120;和计算机在发展符号意#35782;中起着重要作用。因为强#26377;力的计算器将恰像影响算术#22914;何做一样深刻影响#31526;号操作。在中学目前强#35843;操作技能需要改成大大强调理解#21644;问题解决。新技术对#20013;学课程的影响无疑将是发展高经软#20214;使学生能够去发现模式而不仅仅#26159;符号操作。

　#12288;第八，中学数学应当引进#25972;套数学科学中学数学#24517;须为就业、升学和作#20844;民给学生作好准备#65292;要达到这些目标，课程性质包#25324;充分反映数学科学威力的广泛#30340;课题：

　　代数，#21253;括一般算法和各类函数（多项#24335;函数，三角函数，指数函数，对#25968;函数）。

　　几何，包括#21464;换几何、向量几何、立体几何#21644;解析几何。

　　数据分析#65292;包括不确定性的度量#12289;概率和抽样分布、以及推#29702;论证。

　　离散数学，包括#32452;合论、图论、递推关系#12289;递归？？都要强调算法#24605;想。

　　最优化，包括数学建模，#8220;如果……会怎样”（What if）分析#12289;系统思想和网络流程图(Network flows)。

　　强调计算机条件下的一#33324;算法会使代数和三角更有趣。尽管#20960;何作为一个科目有使人厌烦#30340;坏名声，但是由于它的与物#29702;世界的联系，它总是一门有#24456;大兴趣的科目。数据分析与离#25955;数学和最优化一样能够很#23481;易同有趣的、有意义的应用联#31995;。

　　数学教学中#37325;要的是阐明这门科目的统一性#21644;完整性。例如，分形几何(Fractal geometry)高中学生#26159;十分能够接受的并且包含#20195;数、几何和离散数学的一些方面#12290;还提供了计算机的诱#20154;使用。数据分析直接导#33268;代数和几何方法，而代数和几何#26412;身又结合成解析几何。这些把一#20010;课题和其他课题联系起#26469;的纽带常常和这些课题#26412;身一样重要。

　　#31532;九，学生应当领悟，#22312;数学中推理得真理的标准#23398;会理解和建立逻辑的、首尾一#36143;的数学谁是学校数学的主要目#30340;，然而，欧几里得#20960;何不是教学生推理的唯#19968;载体，代数和离散数学都为谁提供#20102;很好的机会；甚至流程图和电子数#25454;表也能用来说明数学论证的#36923;辑性质。

　#12288;比熟练形式证明更加重要的#26159;从各种基本例子中理解#25968;学真理是逻辑的不单纯是#32463;验的。少年儿童能够从算术的基本#32463;验中发展逻辑意识。一旦理解了#31526;号，许多基本思想就可#20197;证明，常常可以用各种方法来证明#12290;代数结果的几何证明（例如，毕#36798;哥拉斯公式用重组正方#24418;的方法展示）常常特别使学生信服#12290;

　　第十，所有学生#22312;校期间每年都应当学习数学#25968;学应当在所有学生而不仅#26159;升学的教育中发挥重要作用。核心#30340;中学数学对所有学生基#26412;上应当是一样的，尽管#34920;述的深度上可以不同。#26680;心以外的扩充自然是不同的，#35201;估计到学生的不同志向和可#33021;的进一步教育。学生能够学会去#24212;用数学。他们的确常常能#22815;在与数学有联系的学科（#22914;自然科学、地理、商业）中学#21040;新的数学。数学和语文一样是#19968;门应当“跨课程”来教的科目。

　　5、新#25968;学课程设计中的几个问题第一，#20851;于教学内容60年代#8220;新数”运动后，中学数学教学#20869;容包含了代数、几何、分析加上一#28857;在力学上的应用、统#35745;和概率。1986年#22312;讨论“九十年代学校数学#8221;的ICMI Kuwoait会上把代数看作仍#28982;“在中学课程中占#20013;心的重要地位”，“然而，#37325;要的事情浊让学生掌握操作技能#65288;如多项式运算）而是教学生#25226;代数看作解决问题的自#28982;工具”。有的国家取消了欧氏#20960;何，感到后悔，因为“大量#20174;事科技工作的人需要掌握非#24120;严格的逻辑性或数#23398;性的陈述”。没有取消#30340;仍然坚持，因为几何有利于#28608;发学生的学习动机，为以后的学习#21644;工作作准备。Kuwoait会建议的#35838;程内容，改革以微积#20998;占优势的状况，引进与计算机科#23398;有关联的离散数学#30340;概念，此外，还包#25324;了那些由于有了计#31639;机而可能搬上课堂#30340;内容，如数据分析，这些都是计算#26426;发展带来的影响。这里再补充三#28857;：一是算法得到重新强调#65292;并且要比较解决同一问题#30340;不同算法的效率；二是符号操作；#19977;是离散数学，对于程序设计#30340;价值的看法有分歧，一方面看#21040;，在填写程序中许多是纯技术性#30340;工作；另一方面，#26377;一些重要的研究表明，#22312;程序设计中的认知#27963;动可以起到概念化的辅#21161;作用，这个问题需要通过#23454;验研究来解决。

　　教学内#23481;中的另一个问题是“为大众#30340;数学”的研究。６０年代的“#26032;数”主要是为了加强“#20013;小学数学”与“高#31561;数学”之间的联系；现#22312;在大力研究中把中小学数学同“#27665;族数学”联系起来#65292;搞面向大众的“为#22823;众的数学”的运动。#36825;个运动从1984年到现在已经#21313;年了，要回答的一个主要#38382;题是“数学是否应#35813;保持在为大众的中小学课#31243;中的核心地位？”可能有四种#36873;择：一是否定回答，对#27599;个人不能都教“纯数学”；#20108;是肯定回答，但必须设计好#65307;三是肯定回答，但未必所有人都#23398;懂；四也是肯定回答，但#35201;设计区分的课程，对不同水#24179;的学生区别对待。前面讲#30340;七个转变中认为目标不能降#20302;，可以通过教法和#36827;度来区别。

　　第二#65292;关于课程的结构课程改革不仅是#20869;容问题，还有课程的结#26500;问题，即要回答“#22914;何构建课程才能不仅易学，而且#31526;合教学目标？”只学“结果”#21602;，不是要学“过程？”现在强#35843;学习“知识何来”，也就是学#8220;过程”。数学课程应该以数学过程#20026;基础，而不是像现在这样以学科#20869;容为基础来重新编制。数学是#19968;组过程。学校的任务是#24110;助学生去“数学化”，那#20040;，不仅是确定哪些数#23398;课题对于中学生是必不#21487;少的，而且重要的任务是选#25321;哪些过程可能会更好地#20026;提高公民素质服务，以及什么学校#23454;践可能帮助学生学习这#20123;过程。

　　#22312;一个计算机化的社会里，#36825;些过程应包括：比较#12289;分类、排序、抽象、符#21495;化、一般化、…等等#65292;所有这些都可以归入“数学化#8221;这个术语之中，如何才能发展数#23398;化的功能呢？“过程”能够作为数#23398;课程建构的实际可能的基础吗#65311;等等仍然是研究的课题#12290;

　　第三，重视数学#30340;应用近年来，对于“应用#8221;，对于使数学教学“贴近”#23454;际，对于“数学模型”的教#23398;，已经有许多谈论，事实上#65292;数学教学历史上总是具有很强#30340;职业的成份；只能随着中学和#22823;学的学院化，数学和现实的联系才#34987;忽视，但是教“应用”和使用“#29616;实生活”例子的问题仍有待#30740;究。“应用”在数学教#23398;中可以有许多解释#65292;有些人为的非现实生活的例#23376;，也可能有重要的教#32946;价值，也可能养成学生应#29992;数学的技能，不能一概否定#65292;还有一类传统的例子是过份“#29616;实”的，是直接从职业中拿#20986;来的，如薄记、税#25910;、联系特殊地方工业的数#23398;，如“三机一泵”这#26679;的现实例子，这就有一个#8220;谁的现实”的问题。这些例子只是#31038;会的一些特殊需要，不足取#12290;…就算排除了这类实例，#36824;会有多种形式体现“应用”。比如#65292;“守门员如何站位才能缩小对手的#23556;角？”、“攻球员应当把球带#21040;离球门多远处，他#30340;射球位置能取得最大射#35282;？”这些问题把数学与#23454;际情境联系在一起，#23545;有些学生有吸引力#65292;但并不是真用数学解决问题，没#26377;哪个球员会这样去计算他#20204;站立的位置，数学的应#29992;主要不在于这样的“应用”#12290;更重要的是，这种“联系”不可能#24635;是结合学生“实际的”，正如Carson说的，“#29616;实是主体和时间的函数，对我#26159;现实的，对别人未必#26159;现实的；在过去是现实的，现在#19981;一定再是现实的了。”可见#35201;使课程有“应用”性是#26082;复杂、又长期的问题。

　　前#38754;说的都是用来为数学教学服务#30340;“现实”例子，当数学用#26469;为现实服务时，情况就完#20840;不同了，它是完全#19981;同的一类例子，它是用#25968;学去描述、理解和解决学生熟#24713;的社会现实问题，这种问#39064;不仅有社会意义，而#19988;不局限于数学一科，不要#29992;到学生多方面的知识#12290;

　　加强实际#24212;用，是教育传统中长期#25345;续的工作，1918#24180;Kilpatrick讲的“在#31038;会环境中有目的的活动”#36816;用“设计”、“兴趣中心”#26469;激发学习动机，即所谓“设计教学#8221;法，这是老例子，但也有一些新例#23376;。

　#12288;现在有一种愿望：在中#23567;学引进跨学科的，以社会为基#30784;的设计工作，在这种设计#24037;作中，学生会看到数学如何#25165;能够应用到真正的“现实生活”问#39064;上去，并且可望获得进一步学习的#21160;力，会自然地产生建立“#25968;学模型”的机会，实际上关于数#23398;建模的学习包括了各种水平的活#21160;。现在有必要研究#35768;多模型，明确“数学建#27169;”的确切意图。2000年的一#20010;重大挑战不仅是提供#22312;学校能够学的应用的实例，而且是#26356;深入地研究各种类型#24212;用的教育目的和正确性，所以学#29983;如何运用数学必定是九十年代#19968;个主要目标。这里有三#31181;可能的选择：第一，在数学课#20869;的应用，这种应用#21487;以直接引起动机，要#27714;学生具有数学以外#30340;知识；第二，数学应用于其他课#20869;；第三，数学应用于跨学科的设计#65288;项目）中，这项工作在#26410;来的年代中是值得认真探讨的开发#24615;的工作。

　#12288;第四，关于问题解决问题解决#26159;数学教育改革的热#38376;话题，范围也在日#30410;扩大，日本已把问题解决纳入#25351;导要领（教学大纲）。美国#30340;课程标准。仍把问题解#20915;作为“一切数学活动的组成部分，#24212;当成为数学课程的核心”#65292;整个数学课程要围绕#38382;题解决展开。英国也是把问题#35299;决作为一种教学模式、数学#25945;学的指导思想来对#24453;的。而对文化压力#30340;增长和新技术的挑战#26356;加显得问题解决的重要#12290;认为要通过教育中的更大的#38382;题解决的方法去开发学生的智#21147;。来回答迅猛的技术革命的问题，#36825;里的原则是：如果我们#19981;能预测明天需要什么#65292;那么最好的回答是用思想#27494;器武装下一代去面对的新的#25361;战。当然不能低估实现这种措施#30340;困难。和60年代的“新数”不同#65292;“新数”至少有大学训练的#25945;师是了解其内容的，#32780;问题解决除了少数人外，对#32477;大多数人都是全新的。

　　荷兰在1981-1985年间为#25991;科开发了一套新的16-19岁的#25968;学课程，对数学作了现实主义的#22788;理。现实世界的问题在把它们#25968;学化之前，先直观地考察，进#34892;数学化，变成数学问题加以解决。#36825;和“新数”的结构主义#30340;处理恰成鲜明对照。

　　有些建议，通过数学建#27169;把更多的问题解决因素引#36827;高中数学：

　　#8220;我们确实要学生能够把他#20204;的数学技能用到实践中去，而且#21482;有通过活跃的问题解决他们才能#20570;到这一点，问题可以是#29616;实的或者纯数学的，统#19968;它们的是，它们给学生以机#20250;去：

　　应#29992;他们的数学技能；小#32452;活动；表现创造性、想像力、革#26032;精神、批判性；激励进一#27493;的数学学习。
免费论文下载中心