数形结合在数学中的妙用

　　数#24418;结合思想是数学中的一种非常#37325;要的数学思想，在解题中运用#25968;形结合，常常可以优化解题#24605;路，简化解题过程。但问#39064;在解题过程中如何进行数形结合#21602;？即怎样催化数与形的结合#21602;？最好的方法就是运用数形结合的#20652;化剂——联想，运用联想不但可#20197;催化数与形的结合，#32780;且可以培养我们的创新思维和创新#33021;力。
　　一、数形结合在函#25968;中的妙用
　　在#20989;数教学中，函数及其图象为数形结#21512;的教学开辟了广阔#30340;天地。函数的图象是#20174;“形”的角度反映变量之间的变化#35268;律，利用图象的直观#24615;有助于题意的理解、性#36136;的讨论、思路的探求和#32467;果的验证。如二次函数、指数函#25968;和对数函数等等，#26681;据函数图象讨论函数的性质#65292;借助函数图象的直观解#20915;实际问题，使学生学得轻松有趣。#26082;可以提高学生的识记能#21147;，又可以加深对函数的图象#21644;性质的理解，使数与形在学#29983;的头脑中密切地结合起来。如#65306;
　　例1#65306;判断下式中x的正负2x=1.2　　
　　分析：考察#25351;数函数y=2x，因 a=2gt;1，在定义域(-∞， ∞)上是增函数，#25925;画出草图，从图中可知，#35813;函数在区间(0， ∞)上#26377;ygt;1。
　　因此，从2x=1.2gt;1可知xgt;0。
　　例2：由函数与函数 y = 2 的#22270;象围成一个封闭图形，这个封闭图#24418;的面积是_______．
　　#20998;析：本题不能直接求解（高中#38454;段没有此类图形的面积#20844;式），初看好象是偏题、怪#39064;，但如果借助于图形的#23545;称性并利用割补法#65292;则可将之转化为一个#31561;积矩形的面积问题．学生可#30452;接看出答案。
　　解题回顾：本题利用了#25968;形结合方法计算面积．图#35937;的对称性可以使棘手的问题简单#21270;，转化为常规的问题，#20307;现了数学中把未知转化为已知的思#24819;方法。
　　二#12289;数形结合在复数中#30340;妙用
　　作为解#39064;方法，“数形结合”实际上包含#20004;方面的含义：一方面对“形”的问#39064;，y引入坐标系或寻找其数量关#31995;式，用“数”的分#26512;加以解决；另一方面对于数量#38388;的关系问题，分析其#20960;何意义，借助形的直观来解。解#19982;复数有关的最值问题时，#21033;用复数的几何色彩，将使解题过#31243;更为巧妙。

　　三、数形结合在不等式中的#22937;用
　　某些看似单纯的#25968;量关系的代数问题，如果能注意#21040;它所包含的几何意义，或者设计出#19968;个与之相关的几何模型#21017;可能找到新颖别致的解法，借助“#24418;”使我们对问题本身不但有直观#30340;分析，且能有更深刻和实#36136;的了解。　　
　　例4：不等#24335;的#35299;集是　　　　
　　分析：如果按照一般的常规解法#65292;该题较繁杂，若转#21270;为图形处理，以形辅数就方便多#20102;。可令，y2=x 2，在同一坐标系中分#21035;作出它们的函数图象。已知原不等#24335;有意义的x值为-2≤x≤2，#20174;图象中观察可见，使y1gt;y2成立的取#20540;范围是(-2，0)#12290;
　　四#12289;数形结合在证明中的应用
　　例5: 设a，b，c为ΔABC的三边的长，求证
　　分析：用证明不#31561;式的一般方法证明结论较为繁琐#65294;由左边诸分母的结构形#24335;，可联想到构造的内切圆，利用#22270;就可以将左边化简，于是原不等式#21487;证．
　　证明：设⊙O为ΔABC的内切圆，则有
　　
　　于是结论得证。
　　例6：设D为ΔABC#36793;上一点，而BD=2DC，转贴#20110; 免费论文下#36733;中心
　　求证：AB2 2AC2=3AD2 6CD2
　　分析：#33509;单从几何角度看，#24050;知条件和论证的目#26631;相距较远，不易下手。如#26524;我们建立如图所示的直角坐标系#65292;使数形结合，综合应用解决。#21487;设四点的坐标分别是A(x，y)#65292;B(-2a，0)，C(a，0)，D(0，0)，则有：　　|AB|2 2|AC|2=[(x 2a)2 y2] 2[(x-a)2 y2]=3(x2 y2) 6a2
　　3|AD|2 6|CD|2=3(x2 y2) 6a2
　　即可#35777;得：|AB|2 2|AC|2=3|AD|2 6|CD|2
　　综上所述可见，#25968;形结合是学好数学#30340;一把钥匙。它可将一些#30475;似复杂的问题变得非常简单，#20063;常使一些难于下手的#38382;题迎刃而解。利用图形的直观性#35299;题，巧妙地简化了大量繁杂的#35745;算和逻辑推理过程，构思新#39062;，解题简洁。其方法的丰#23500;内涵对培养与发展#23398;生的思维能力、解题能力极为有#29992;，也有助于增强学生的数素养，因#32780;这种方法在数学教学中#24212;给予足够重视。 免费论#25991;下载中心