数学概念形成的问题情景创设

数学概念的#25945;学一般都要经历概#24565;的形成、概念的表述、概念#30340;辨析、概念的应用#65288;包括概念所涉及的数#23398;思想方法的运用）等阶段。在数#23398;概念的教学中，很多#25945;师往往不注重概念#30340;形成过程，只重视概念的运用，忽#35270;数学知识的产生与形成的重要#38454;段，强行地将一些新的#25968;学概念灌输给学生，无#20174;体现学生的主体性，将#20005;重影响学生形成正确的数学#35266;，阻碍学生的能力发展。造成#36825;种现象的原因，一#26041;面是由于教师的教学观念比较陈旧#65292;在教学中不重视学生的思维活动，不能使学生的认知过程成为#19968;个再创造的过程，#23454;现发现、理解、创造与应用#65307;另一方面是许多教#24072;不知如何创设数学#27010;念形成的问题情景，循序渐进地#24341;导学生开展探索活#21160;。在数学概念教学中，#22914;何设计有效的问题情景，充#20998;调动学生参与课堂教学活动#65292;使学生经历观察、分析、类比、#29468;想、归纳、抽象、#27010;括、推广等思维活动，探究#35268;律，得出新的数学概念#12290;从而使学生体验到#25968;学概念的产生过程，提高他们对#25968;学的认识水平，掌握#25968;学思想方法，培养数学能力，这#26159;数学概念教学要研究的首要问题。
一、 创设数学概念形成#30340;问题情景的途径
数学概念有些是由生产、#29983;活实际问题中抽象#20986;来的，有些是由数学#33258;身的发展而产生的，许多数学概#24565;源于生活实际，但又#20381;赖已有的数学概念#32780;产生。根据数学概念产#29983;的方式及数学思维的一般方法，结#21512;学生的认知特点，可以用下列几#31181;方法来创设数学概念#24418;成的问题情景。

#65288;一）回顾已有相似概念，创#35774;类比发现的问题情景
　　#20013;学数学中有许多概念具有相#20284;的属性，对于这些概念的教学#65292;教师可先引导学生研#31350;已学过的概念属性#65292;然后创设类比发现的问题情景#65292;引导学生去发现，尝试给#26032;概念下定义，这样新的概念容#26131;在原有的认知结构中得以同化与构#24314;。
#20363;1 异面直线#30340;距离的教学
（1）展示概念背景：向#23398;生指出：刻划两条#24322;面直线的相对位置的一个几何#37327;——异面直线所成的角#65292;这只能反映两异面#30452;线的倾斜程度，若要刻划其远近程#24230;，需要用另一个量——异面直线之#38388;的距离。
（2）创设类比发现的问题#24773;景：先引导学生回顾一下#36807;去学过的有关距离的概念（点#19982;点间的距离、点到直#32447;的距离、平行线之间#30340;距离），并概括出它们的共同点：#21508;种距离概念都归结为点#19982;点间的距离；每种距离都是确定#30340;而且是最小的。
（3）启迪发现阶段：#25351;出定义两异面直线的距离#20063;必须遵循上述原则，然后#24341;导学生讨论：异面直线a、b上哪#20004;点之间的距离最小？为#20160;么？
进一步诱导：如右图，过直线a#19978;一点B作
AB⊥直线b，垂#36275;为点A，则线段AB的长#20026;异面直线a，b间的距离，对吗？因为过A作AC⊥直线a#65292;垂足为C，在RTΔABC中#26377;ABgt;AC，即AB不具有最小性。再过C作CD⊥直线b，如此下去…，线#27573;只垂直于a、b中的一条时，总是#26576;直角三角形的斜边，不可能#26159;a、b上任两点间距离#30340;最小者，那么，异面直#32447;a、b上任两点间距离#30340;最小者到底应该是哪条线#27573;的长呢？学生会发现#65306;可能是与异面直线a、b都垂#30452;相交的线段。
（4）表述论证阶段：最#21518;引导学生发现：异#38754;直线a、b的公垂线段MN的#38271;度具有最小性，又公垂#32447;是唯一的，所以，#21487;以把线段MN定义为异面直线a，b之间的距离。
以上通过引导学生研究#24050;有 “距离#8221;概念的本质特点，即产生新#30340;概念的“生长点”，#20197;类比方法获得异面直#32447;距离的概念，学生觉得这一#27010;念是已有距离概念的一种#33258;然发展，不感到别扭。这样的概#24565;还有很多，如复数的模与实#25968;的绝对值类比、二次#26041;程与一次方程的类比、空间#30340;二面角与平面的角类比#31561;等。
这#31867;数学概念形成的问题情景创设#19968;定要抓住新旧概念的相似点，#20026;新的数学概念的形成#25552;供必要的“认知基础”，通#36807;与熟悉的概念类比（类比的形式#22810;样，如平面与空间的类比、高#32500;与低维的类比、有限与无限的类#27604;，还有方法类比、结构类比、形式#31867;比等等），可使学生更好地认#35782;、理解、掌握新的数学概#24565;。当然要注意类比得出的#32467;论不一定正确，应引导学#29983;修正错误的类比设想，直到#24471;出正确结果。

（二）由已有#30456;关概念的比较，创设归纳发现的问#39064;情景
　　有些数#23398;概念是已有概念的扩充，若#33021;揭示概念的扩充规律，便可以#27700;到渠成地引入新概念。
例2 复数概念的#25945;学
先回顾已#32463;历过的几次数集扩充的#20107;实：
正整数 自然数 非负有理数 有理数 实数，然后教师提出以下问题:
（1）上述数集扩#20805;的原因及其规律如何？
#23454;际问题的需要使得在#24050;有的数集内有些运#31639;无法进行，数集的扩充过程体现了#22914;下规律：
① 每次扩充#37117;增加规定了新元素；
② 在原数集内成立的运算规律#65292;在数集扩充后的更大#33539;围内仍然成立；
③ 扩充后的新数#38598;里能解决原数集不能解#20915;的问题。
有了上述准备后，教师#25552;出问题：负数不能开平方的事实#35828;明实数集不够完善，因而提出将#23454;数集扩充为一个更为完整#30340;数集的必要性。那么，怎#26679;解决这个问题呢？
（2）借鉴#19978;述规律，为了扩充实数集，引入新#20803;素i，并作出两条规定。（略）
这样#23398;生对i的引入不会感到疑惑，对复#25968;集概念的建立也不会觉得突然，#20351;学生的思维很自然地步入知#35782;发生和形成的轨道#20013;，为概念的理解和进一步研#31350;奠定基础。
这类数学概念#24418;成的问题情景创设的关键是揭#31034;出相关概念的扩充发展的背景#21450;其规律，从而引发新的数学概念#30340;产生。

（三#65289;联想相关数学概念，#21019;设引发猜想的问题情景
　　许多#25968;学概念间存在着一定的联系#65292;教师若能将新旧概#24565;间的联系点设计成问题情景，#24341;导学生建立起新旧概念间的#32852;系，便可以使学生牢#22266;地掌握新的概念。
例3 异面直线所成角的概念#25945;学
（1）展示概念背景：教师#19982;学生一起以熟悉的正#26041;体为例，请学生观察图#20013;有几对异面直线？接着提问#65306;从位置关系看，同为异面直线，但#23427;们的相对位置，是否就没有#21306;别？教师紧接着说：既然有区别#65292;说明仅用“异面”来#25551;述异面直线间的相对位置显然是#19981;够的。在生产实际与#25968;学问题中，有时还需要进一步#31934;确化，这就提出了一个新任务：#24590;样刻划异面直线间#30340;这种相对位置，或者说，引进#19968;些什么数量来刻划#36825;种相对位置？
(2)情#22659;设计阶段：我们知道平面几#20309;中用“距离”来刻划两平行直线间#30340;相对位置，用“角”来刻划两相#20132;直线间的相对位置，那么用#20160;么来刻划两异面直线#30340;相对位置呢？我们还知道两异面直#32447;不相交，但它们又确实存在倾斜程#24230;不同，这就需要我们#25214;到一个角，用它的大小#26469;度量异面直线的相对倾#26012;程度。为了解决这个问题#65292;我们研究一道题：一张纸上画有#20004;条能相交的直线ａ、#65346;（但交点在纸外）．现给你一副#19977;角板和量角器，限#23450;不许拼接纸片，不许延长纸上#30340;线段，问如何能量#20986;ａ、ｂ所成的角的大#23567;？
(3)猜想发现阶段：解决上述#38382;题的方法是过一点分别作a，b的平行线，该方法#33021;否迁移到两异面直#32447;的倾斜程度呢？经学生#30740;讨后能粗略地得出异面直线的倾斜#31243;度可转化为平面内两条相交直#32447;的角（即过一点分#21035;作a、b的平行线，#36825;两条平行线所成的角）
(4)表述论证阶段：教师提#38382;，这角（或平行线）一#23450;可以作出来吗？角的#22823;小与作法有什么关系？（以上即#26159;存在性和确定性问题）通过解决#20197;上两个问题得到：两异#38754;直线所成角的范围规定在（0， 内，那么#23427;的大小，由异面直线本身#20915;定，而与点O（一线#30340;平行线与另一线的平#34892;线的交点）的选取无关，点O可任#36873;．一般总是将点Ｏ选在特殊位置#65294;至此，两异面直线#25152;成角的概念完全建#31435;了，在这个过程中渗#36879;了把空间问题转化为平面问题这一#21270;归的数学思想方法。
这#31867;数学概念形成的问题情景创#35774;一定要抓住新、旧数学概#24565;间的本质属性，为新概#24565;的产生创设适当的固着点#65292;使其孕育新的数学概念的形成#12290; 免费论文下#36733;中心

（四#65289;提供感性材料，创设抽象与概#25324;的问题情景
有些数学概念源于现#23454;生活，是从生产、生#27963;实际问题中抽象出来#30340;，对于这些概念的教学要#36890;过一些感性材料，创设抽象与概括#30340;情景，引导学生提炼#25968;学概念的本质属性#12290;
　　#20363;4 数轴概念的教学
教师先出示下列问题：小张家#21521;东走20米是书店，向西走30米是少年宫。若规定向东#36208;为正，向西走为负，#37027;么，小张从家出发，走到#20070;店应记作什么？走到少年宫#35760;作什么？温度计显示零上20 C，零下3 C，你如何用有理数#34920;示。
教师接着要求学生将上#36848;两个问题分别用简单形象的图#31034;方法来描述它们，并进一步引#23548;学生提炼出它们的共同#23646;性：
（1）能用图线表示事物的#25968;量特征（可用同一直#32447;上的线段来刻划）（2）#24230;量的起点（0 C和小张家）（3）#24230;量的单位（温度计每格表示1 C）（4#65289;有表示相反意义的方向#65288;向东为正，向西为负；零上为#27491;，零下为负）
这#26679;就启发学生用直线上的点#34920;示数，对于“表示相反意义的方#21521;”用箭头“ ”表示正方向#65292;从而引进 “数轴#8221;的概念。这样做符合学生#30340;认识规律，给学生留下深刻持久#30340;印象，同时也有助于激发学生的学#20064;兴趣，促使他们积极参与教学活动#65292;有利于学生思维能力的培养和素质#30340;提高。
这类#25968;学概念形成的问题情景创设#19968;定要遵循认识规律，从感性到#29702;性，从具体到抽象#65292;通过学生熟悉的实#38469;例子，恰当地设计#19968;些问题，让学生经过#27604;较、分类、抽象等思维活动，#20174;中找出一类事物的本质属性，最#21518;通过概括得出新的数学#27010;念。

（五）通过学#29983;实验，创设观察、发现的问题情景
　　#26377;些数学概念可以通过引#23548;学生从自己的亲自实验或通过现#20195;教育技术手段演示#21450;自己操作（如几何画板提#20379;了很好的工具）去领#24735;数学概念的形成，让学生在动手操#20316;、探索反思中掌握数学概念。
例5 椭圆概念的教#23398;
#21487;分下列几个步骤进行：#65288;1）实验 获得感性认识（#35201;求学生用事先准备的两个小#22270;钉和一长度为定长的细线，将细线#30340;两端固定，用铅笔把#32454;线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动#65292;画得图形为椭圆）（2）提#20986;问题，思考讨论。#26925;圆上的点有何特征？当细线的#38271;等于两定点之间的距离时，其#36712;迹是什么？当细线的长#23567;于两定点之间的距离时，其轨迹是#20160;么？你能给椭圆下一个#23450;义吗？（3）揭示本#36136;，给出定义。象这样，学生经#21382;了实验、讨论后，对#26925;圆的定义的实质会掌握得很好，不#20250;出现忽略椭圆定义#20013;的定长应大于两定点#20043;间的距离的错误。
#36825;类数学概念的形成一定要#23398;生动手操作实验，仔细观察，#24182;能根据需要适当变换角度来#25235;住问题的特征以解决#38382;题。培养学生敏锐的观察#21147;是解决这类问题的关键。除#20102;真实的实验外，还可以充分利用#29616;代教育技术设计一些仿真#23454;验，实验的设计不能只是作为教#24072;来演示的一种工具#65292;而是要能由学生可以根据#33258;己的思路进行动手操作的学具，#35753;学生通过实际操作学会观察、学#20250;发现！

以上列举的几种方法#19981;是独立的，而是相互#32852;系的，有些数学概念的#20135;生与形成过程需要综合#36816;用多种方法才能创设出利于学生发#29616;的问题情景。
二#12289; 数学概念形成阶#27573;教学应注意的问题
在创设问题情景时，还#24212;创设师生共同研究问题#30340;良好氛围。教师要积极鼓励学#29983;独立提出问题、独#31435;分析、解决问题，还要鼓励学生之#38388;互相研讨问题，大胆向教师#25552;问题或提出创见性的#35266;点，努力营造一种师生之#38388;平等共同研讨、分析#35299;决问题的民主气氛，形成师生间和#35856;良好的人际关系，使课堂教学充#28385;活力。在教学中要注意以下问题：

（一） 注意#38382;题的呈示方式
有#20102;合适的问题情景，还必须注意问题#30340;呈示方式。我们认为：#38382;题的呈示要以学生主体的充分#21457;挥为前提，重视知识的发现和探索#36807;程，重视学生的内心体验。#36890;过问题的呈示能使学生充分地展#24320;思维活动（包括动手、动脑#65289;，教师应留给学生一定的思考时#38388;和空间，不要急于将答案#21578;诉学生，应把发现问题的#26426;会，大智若愚地让给学生，#35753;学生的思维得到充分#30340;暴露，教师根据学生出现的一些#38382;题，有针对性地组织#35752;论、辨析，并在关键处#20104;以点拨，真正使学#29983;体验到新的数学概念#30340;形成过程。

（二） 教学#24418;式要多样化
课堂教学从本质上说是一#31181;“沟通”与“合作”#30340;活动，是教师主导与学生主体相#20114;作用以实现学生有#24847;义学习的过程，要使#36825;个过程顺利进行，必须充分发挥师#29983;双方的积极性和主动#24615;。为了充分调动学生的积极#24615;，教学形式应尽可能多样化。教学#19981;能只是教师的讲授#65292;还应包括学生的独立自#20027;探究，集体研究，小组讨#35770;或先学生独立研究#20877;相互交流，或带着问题自学等#22810;种方式。这样有利于激发学#29983;的学习积极性。至于如何确定教#23398;形式，这要考虑所研究问题的#38590;易程度及学生的知识和思#32500;水平。一般来说，要尽可能让#23398;生参与数学活动，只要学生有能力#36890;过活动解决的问题，就应#35813;让学生独立完成。对有一定难#24230;的问题，可先让学生独立研究，#20877;组织小组交流（教师参#19982;小组研究，并在关键处作适当点#25320;），最后师生一起探索#24471;出结论。

（三） 渗透数学思#24819;方法
数学概念是思#32500;的细胞，是浓缩的#30693;识点，是感性认识飞跃到理#24615;认识的结果，而飞#36291;的实现要依据数学思想方法，经#36807;分析、综合、比较、抽象、#27010;括等思维的逻辑加工而成。因#27492;教师应注意将在解决问#39064;的过程中所涉及的#25968;学思想方法显化，对解决问题的思#32500;策略进行提炼，让学生学#20250;思维，提高自我探索、发现#21019;造的能力。如例5中学生根据操作#36807;程类比圆的概念产生这样#30340;定义：平面内到两个定点的距离之#21644;等于定长的点的轨迹叫椭圆。怎#26679;使学生意识到这一#23450;义不完备呢？如何让学生完善#36825;一定义呢？可让学生将两#20010;定点由近到远地多画些椭圆，#24403;学生将此操作进行至极限（即细#32447;的长等于两定点之#38388;的距离时）时发现画#20986;的是一条线段。这样的过程能#22815;使学生独立地发现和完善椭圆的定#20041;。这种不断实验、观察、#36827;而得到发现的“科研”方法#35201;让学生通过学习逐步#25484;握。学生掌握这些方法#23558;受益终身！
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