【关键词】 种群
关键词: 种群;非线性差分方程;稳定性
摘 要:目的 寻求种群生长的数学模型. 方法 差分方程理论. 结果 建立了描述种群生长的非线性差分方程模型. 结论 该非线性差分方程模型具有良好的可靠性和稳定性.
Keywords:population;nonlinear difference equation;stabili-ty
Abstract:AIM To find a mathematical model of population growing.METHODS Theory of difference equation.RE┐SULTS Model of nonlinear difference equation that de-scribes the growth of population has been established.CON┐CLUSION Model of nonlinear difference equation has the advantage of reliability and stability.
0 引言
为了确定将来一个种群中动物的规模，我们考虑构造一个数学模型，以反映该种群生长的内在变化规律.在其生命历程中，我们总是假定种群繁殖或是死亡的概率与该种群的数目无关，都保持不变，显然，这只有在种群规模足够小以致于它的成员之间没有相互影响的情形下才能成立.事实上，在有限的环境里，任何种群的生长终究要受制于资源以及种群个体之间的相互影响，有限的资源必将抑制种群进一步的增长，因此，如果不考虑系统外部因素的影响，种群迟早会趋于饱和状态［1］ .
1 非线性差分方程模型的建立
我们定义变量N（t）为时刻t时种群中动物的数目，b和d分别是种群的生殖率和死亡率，一般来说，它们都是种群数目N的函数，分别记为b（N）和d（N）.事实上，在一个有限的环境里，当种群数目N增长时，b（N）趋于减少而d（N）趋于增长，记种群的增长率r（N）=b（N）-d（N）［2］ .当生殖率等于死亡率时，即增长率为零时，种群就会达到平衡状态，我们称此时的种群数目N=N∞ 为种群的“饱和水平”.考虑在一个很短的时间［t，t+△t］内，有b（N）N（t）△t个动物出生以及d（N）N（t）个动物死亡，t+Δt时动物的数目N（t+△t）应该等于时刻t时动物的数目N（t）加上时间［t，t+△t］内出生的动物数目再减去它们的死亡数，于是N（t+△t）=N（t）+b（N）N（t）△t-d（N）N（t）△t，我们把上式写成:N（t+△t）-N（t）△t =r（N）N（t） （1）其中r（N）=b（N）-d（N）为种群的增长率，为了确定其解析表达式，我们把它展开成Taylor级数:r（N）=r0 +r1 N+r2 N2 +r3 N3 +…，略去高阶项，取前两项作为其近似的解析表达式，即r（N）=r0 +r1 N，这是一个含有两个参数r0 和r1 的方程，考虑到当N=N∞ 时种群增长率为零，即r（N∞ ）=0，从而确定参数r1 =-r
0 N∞ ，这样我们就得到种群增长率r（N）的表达式为:r（N）=r0 ［1-N（t）N ∞ ］，并由此建立了描述种群生长规律的非线性差分方程:N（t+△t）-N（t） △t =r0 ［1-N（t）N∞ ］N（t）（2）下面我们给出差分方程（2）的解.记Nκ =N（κ△t），κ=0，1，2，…，则N1 =N0 +r0 （1-N0N∞ ）N0 △t，N2 =N1 +r0 （1-N1N∞ ）N1 △t，…，Nκ =Nκ-1 +r0 （1-Nκ-1 N∞ ）Nκ-1 △t，通过迭代法可以确定时刻t=κΔt时种群的数目Nκ =N（κΔt）.
2 稳定性分析
非线性差分方程（2）描述了种群生长规律，分析这个差分方程性质就可以了解种群系统的状态.为此我们定义系统平衡的概念:如果系统满足条件N（t+△t）=N（t），就称这个系统处于平衡状态.对差分方程（2）而言，这就意味着:r0 ［1-N（t）N∞ ］N（t）=0.
我们从这个方程中得到系统的平衡点N=0及N=N∞ ，鉴于模型（2）仅对数目相当大的种群才适用，所以不必考虑平衡点N=0及其附近的性质，下面我们只研究在平衡点N=N∞ 附近的性质.为此我们假设在N=N∞ 处有一个很小的负扰动δ（t），则:N（t）=N∞ +δ（t）=N∞ ［1+δ（t）N ∞ ］=N ∞ ［1+ε（t）］，其中扰动率ε（t）=δ（t）N∞ ，差分方程（2）等价于ε（t+△t）-ε（t）△t =-r0 ε（t）-r0 ε2 （t）.在上式中略去高阶无穷小-r0 ε2 （t），得到ε（t+△t）=（1-r0 △t）ε（t），记εκ =ε（κ△t），κ=0，1，2，…，其中ε0 是初始扰动率，于是ε1 =（1-r0 △t）ε0 ，ε2 =（1-r 0 △t） 2 ε0 ，…，εn =（1-r0 △t）n ε0 . 如果即时，则当1-r0 △t&<1，既00 △t&>2，则当n→∞时，ε（n△t）→∞，此时平衡是不稳定的;如果1-r0 △t&<0，即当r0 △t&>1时，ε（n△t）的符号正负交错，此时解是震荡的;当r0 △t&<1时解是非震荡的.
综上所述，在平衡点N=N∞ 处有一个很小的负扰动δ（t）时，有如下结论:①如果0∞ 处的平衡是稳定的、非震荡的;②如果12，系统在N∞ 处的平衡是不稳定的、震荡的.
3 实例
为了验证非线性差分方程模型（2）的可靠性，我们用它来预测美国1790/1950年间的人口数，计算时分别取1790年、1850年和1910年的人口普查数据为起始点，时间步长Δt=1a，确定了模型参数r0 =0.3134，N∞ =197268200.计算结果表明用非线性差分方程模型（2）得到的预测数与美国每10年1次 的人口普查的数据相当吻合，具体结果见Tab1.
表1 美国人口普查结果与非线性差分方程模型的预测数 略
4 讨论
稳定性分析对于预测非线性差分方程的特性，进而预测种群系统的增长特性具有重要的意义，实际计算的结果也表明了非线性差分方程模型（2）的可靠性和稳定性.同时，我们也注意到当△t充分大时，确切地说是当r0 △t&>2时，非线性差分方程（2）所描述的系统在N=N∞ 处将出现不稳定的状态.
计算前应当验证时间:△t步长只有满足条件0
对于非线性差分方程（2），我们令△t→0，就可以得到著名的Logistic方程［3-5］ :dN dt=［1-N（t）
N ∞ ］N（t）.
参考文献
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