摘要：本文提出了一个基于小生境遗传算法的平面叶栅多目标优化设计方法。该方法利用奇点分布法设计无厚翼型初始骨线，在最大厚度一定的条件下，采用NACA-0012型空气动力翼型的厚度分布规律对已知骨线进行加厚得到翼型，从而得到平面叶栅。然后以平面叶栅表面边界层中的流动损失最小和翼型气蚀系数最低为多目标，用距离法构造二者统一的目标函数，利用遗传算法来搜索最佳的骨线形状。已知叶栅的流场分析由一个基于边界元的程序完成。假定总损失与叶栅表面边界层中的流动损失成正比，该损失可通过积分法计算叶栅边界层得到。将该方法应用于ZZ440叶栅的设计，结果显示可以得到较满意的解。
关键词：遗传算法 平面叶栅 多目标 优化设计
目前，遗传算法[1]在许多领域都得到了广泛的应用，取得了很好的效果，充分说明了遗传算法的有效性。与一般算法相比，遗传算法更适合优化复杂的非线性问题。本文将遗传算法应用于平面叶栅优化设计。一方面，奇点分布设计平面叶栅原理简单，易于实现，但由于骨线是按照无厚翼型设计的，加厚以后流道变窄，流速加大，因此正反问题计算得到的环量相差较大，因此骨线需要调整；另一方面，充分利用遗传算法的全局搜索特性来搜索最优的骨线形状。将二者的特点结合起来用于设计轴流平面叶栅。这样既可以使得到的叶栅满足给定的环量要求，又可以提高其效率、减小气蚀系数，不失为一种新的尝试。
1 数学模型
奇点法[2]的基本出发点是用一系列分布在翼型骨线上的奇点来代替叶栅中的翼型对水流的作用，将叶栅绕流的计算转化为基本势流的叠加计算，利用绕流无分离的条件来绘制翼型的形状。其前提是假定来流为无旋有势流动、叶片无限薄。在设计过程中，所求的骨 线可先假设一个翼型的骨线形状，计算出骨线上各点的合成速度W，由于骨线 是假定的，W并不能和骨线相切。根据骨线和速度W相切的条件修改第一次假设的骨 线形状，得到第二次近似骨线。重复上述计算，直至逼近为止。
1.1 目标函数 优化模型为：
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(1) |
式中：ξ为损失系数，σ为气蚀系数；βi(i=1，2，3，…6)为奇点法设计骨线时得到的6个等分计算点的夹角(如图1)，奇点法就是通过这六个夹角和骨线总长来得到骨线形状。
得到骨线后，为得到翼型，必须以骨线为中线进行加厚，继而得到平面叶栅。本文先根据强度要求来确定翼型的最大厚度，而后以NACA-0012型空气动力翼型的厚度分布规律为基础，对所得骨线进行双边加厚。
1.2 约束条件 叶栅设计时的约束条件有几何约束、流动约束、能量约束等。在确定约束条件时应考虑在允许的情况下，尽量减少约束条件的数目。本课题提出约束条件有环量约束，以此来满足给定的环量，除此之外，还有速度分布约束、边界层无分离约束等。
1.3 多目标优化设计方法 设优化的多目标优化模型[3]为：
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(2) |
式中：X为优化个体；x1，x2，…，xk为优化变量；f1(X)，f2(X)，…，fn(X)为各个优化目标。
在多目标优化过程中，通常引入一个“有效解”，即Pareto最优解的概念。本文采用以下形式构造统一的目标函数：
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(3) |
这里，P为正整数，通常取P=2;X*i为第i个目标对应的最优个体，fi(X*i)为其最优解。如此构造的统一目标函数可同时可虑多个优化目标。
1.4 个体适应值的计算 要得到个体适应值，需要对已知翼型的叶栅进行流场分析。取与水轮机同时转动的相对坐标系，则所求解问题的相对流函数满足拉普拉斯方程。鉴于我们关心的是翼型表面的速度分布这一特点，同时由于拉普拉斯方程的基本解已知，参照边界元[4]的特点，采用边界元方法来计算由翼型组成叶栅的平面无旋流场。流场求出之后，即可得到翼型表面的流速分布，从而可求得翼型的气蚀系数；而后，假设叶栅中的总损失正比于叶栅表面边界层中的流动损失，采用积分法[5]计算平面叶栅边界层，从而得到损失系数。在气蚀系数和损失系数已知的条件下，即可求得个体的适应值。
2.1 数值算例的给定设计参数 本文以ZZ440轴流式水轮机为研究对象，对轮毂处的平面叶栅进行优化设计。基本参数[6]为：Q10=0.8m3/s，n10=115r/min，ns=440mkw，Z=6，Dh=0.5给定设计参数为：nd=1.3n10，Qd=1.45Q10，H=1m，D=1m。
流场计算区域如图2所示。
2.2 优化变量取值范围 在设计出初始无厚翼型骨线时，即可得到的骨线上六个骨线等分计算点的夹角值。各优化变量βi在初始骨线角的基础上左右波动20%，即可得到优化变量的取值范围。如在第i个优化点的初始骨线角度为β0i，则在该点的优化变量βi的变化范围[0.8β0i，1.2β0i]。如此确定的设计变量取值的上下限可在编码方案中自动被考虑，无须再作为优化约束另行处理。
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2.3 遗传算法参数的选择 在本例中，采用可以较好处理多峰问题的基于共享机制的小生境技术遗传算法[7，8]。对各个优化参量采用实数编码。权衡考察结果，当种群规模N=40，杂交概率Pc=0.7，变异概率Pm=0.3，海明距离阀值Ls=0.5时，就本例而言，可望得到较好的算法形态。
2.4 数值计算结果及其分析 上述思想用Fortran PowerStation语言编程实现，先分别以叶栅损失和气蚀系数最小为单目标进行优化，得出单目标优化结果：σmin=0.36，ξmin=0.050。而后，运用距离法进行多目标优化。遗传算法运行至第32代时达到最优，其优化设计的计算结果如图所示。
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表1 优化前后骨线角比较 | ||||||
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—— |
β2 |
β2 |
β3 |
β4 |
β5 |
β6 |
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优化前 |
0.4028 |
0.4998 |
0.6033 |
0.7269 |
0.8788 |
0.10611 |
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表2 优化前后特性值比较 | |||
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—— |
绕单个翼型环量 |
气蚀系数 |
损失系数 |
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反问题计算值 |
0.682 |
—— |
—— |
在上图中，图3是优化前后骨线形状比较图，图4、图5分别是翼型表面相对流速分布和压力分布比较图，表1是优化前后骨线角比较，表2是特性值比较。由表2可知，骨线优化前的环量比设计要求的环量大11%，而优化后的环量则和要求值相差很小。原因是常规设计骨线是按照翼型无厚进行设计的，对骨线进行加厚以后流道变窄，流速加大，环量增大，所以导致环量与给定值相差较大。而在优化设计中，我们将环量满足要求作为约束条件，故设计出的叶
栅的环量和给定值相差很小。同时，用骨线优化后的翼型相对于优化前，最大流速较小，压力分布较均匀，流场特性有所改善，优化得到的损失系数ξ=0.058，气蚀系数σ=0.39；而优化前的损失系数ξ′=0.073，气蚀系数σ′=0.53。很明显，优化后不仅环量满足要求，且损失系数小，气蚀系数也小。从而说明了此方法的有效性。
3 结 论
本文提出了一个基于遗传算法的平面叶栅多目标优化设计方法，它不仅解决了奇点法设计无厚翼型在加厚后导致环量不满足要求的问题，同时还能提高效率，减小气蚀系数。算例表明，用该方法得到叶栅的能量性能和空化性能均有所提高，流场特性也有所改善，不失为一种较好的方法。本方法的缺点是只考虑了叶栅的边界层损失，而忽略了其它损失。综合考虑其它损失的优化方法正是今后需要进一步研究的课题。
参 考 文 献：
[1]陈国良，等.遗传算法及应用[M].北京：人民邮电出版社，1996.
[2]高建铭，姚志民.水轮机的水力计算[M].北京：电力工业出版社，1982.
[3]Ramana V Grandhi，Geetha Bharatram.Multiobjective Optimization of LargeScale Structures[J].AIAA JOURNAL，1993，31(7).
[4]布来比亚CA.工程师用的边界单元法[M].北京：科学出版社，1989.
[5]罗兴.水力机械转轮现代设计理论及应用[M].西安：西安交通 大学出版社，1997.
[6]刘大恺.水轮机[M].北京：中国电力出版社，1997.
[7]周明，孙树栋.遗传算法原理及应用[M].北京：国防工业出版社，1999.
[8]米凯利维茨Z.演化程序—遗传算法和数据编码的结合[M].北京：科学出版社，2000.