摘要：侧裂面是控制拱坝抗滑稳定的重要力学边界之一，可能构成侧裂面的陡倾结构面称为侧裂结构面。如果侧裂结构面为随机基体裂缝，那么其迹长估计就是侧裂面边界条件分析中的一项重要内容。作者在分析H-H、Laslett和2L0.5三种迹长估计方法的基础上，综合确定模型方法和概率模型方法，提出了一种适用于侧裂结构面迹长估计的新方法——广义H-H迹长估计算法。并利用此方法对西南某大型水电站工程侧裂结构面迹长进行了研究，证明了该方法的正确性。
关键词：侧裂面 侧裂结构面 迹长估计 广义H-H算法
在水电工程中，侧裂面是控制拱坝坝肩抗滑稳定的一个重要力学边界。如果坝肩部位没有明显的陡倾断层通过，则可能构成侧裂面的面只能是某一走向的陡倾基体裂隙，作者将这组陡倾裂隙称之为侧裂面。侧裂面迹长是一个重要岩体参数，它直接反映了面的几何大小，所以侧裂面迹长是侧裂面边界条件分析中一项重要内容。但是，由于受野外露头的影响，可测量到的全迹长面样本数量往往很少，利用确定模型方法直接求柔构面平均迹长受到了很大的限制，因此基于概率模型的迹长估计方法便成为获柔构面平均迹长的一个主要途径。其基本原理是根据取样窗口中面可见迹长及其与窗口(或测线)的交切关系来推求平均迹长。尽管现有迹长估计方法较多，但是专门用于侧裂面迹长估计方法尚没见报道。在对西南某大型水电站工程侧裂面边界条件研究中发现，在某些情况下，各种迹长估计算法之间存在较大差别，迹长估计结果与实际情况出入很大。作者对这一现象进行了较深入的分析，并在此基础上，提出了广义H-H面迹长估计公式，理论和实践证明：该算法是正确可靠的。
1 面迹长估计常用方法
目前已有的迹长估计方法很多，常用的方法有：Kulatilake迹长估计法、Cruden迹长估计法、Laslett(1982)迹长估计法、H-H迹长估计法和倍半迹长方法(2L0.5)等等。其中Kulatilake算法要求由倾向和倾角两个独立变量定义的面二维概率密度函数是已知的，所以实用性较差。Cruden公式假设迹长服从负指数分布，然而众多学者则认为迹长服从对数正态分布。鉴于上述理由，在实际计算中，主* 捎昧薍-H、Laslett和2L0.5三种迹长估算方法。
Laslett基于极大似然原理，推导了由窗口数据估计面平均迹长的极大似然公式：
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(1) |
式中：Xi是第i条两端可见面可见迹长；Yj是第j条一端可见面可见迹长；Zk是第k条两端均不可见面可见迹长；n为两端可见面条数；m为一端可见面条数；p为两端均不可见面条数。
特别地，当两端可见面条数n和两端均不可见面条数p均为零时，上式变为简化为如下形式：
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(2) |
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上式的物理含义是面平均迹长等于可见迹长数学期望的两倍，故称之为倍半迹长估计公式(简记为2L0.5). Laslett极大似然迹长估计没有考虑到测量窗口尺度对迹长估计的影响，1997年黄润秋、黄国明提出的平均迹长计算公式则弥补了这一缺陷。在宽度为w、高度为h的取样窗内，面与窗口的几何交切形式共有3种：(a)两端可见；(b)一端可见；(c)两端均不可见(图1).根据面交切窗口概率与测量窗口尺度之间的关系，黄润秋、黄国明推导了裂隙中点服从均匀分布条件下的迹长估算公式(简称H-H迹长估算公式)： |
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l=n1+2n0/2Nπwh/w+h |
(3) |
式中：n0是两端均不可见的面条数；n1是一端可见另一端不可见的面条数；n2是两端可见的面条数；N是面总数，由下式确定：
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N=n0+n1+n2 |
(4) |
2 侧裂面迹长估计
2.1 问题特点 拟建西南某大型水电站是一巨型规模的水力发电枢纽工程，大坝为双曲高拱坝，坝区侧裂面主要由随机分布的陡倾基体裂隙构成。按照工程设计和抗滑稳定性要求，确定左岸侧裂面走向变化范围为N5°W～N35°W，右岸为N75°E～N75°W，倾角均大于60°。侧裂面的野外现场调查主要在勘探平硐中进行，但是由于坝区绝大多数平硐沿垂直河谷或平行河谷方向施工，且硐高仅为2m，所以平硐布置方向和硐高皆不利于侧裂面迹长调查(图2).在坝肩抗力体局部地段，尤其是在距离坝肩抗力体上游约200m处的厂房区，布置了少数与侧裂面走向近平行的勘探平硐，在其硐顶可以获得一部分全迹长资料(图3).
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图2 坝肩抗力体低高程平硐布置及其侧裂面分布 |
图3 厂房区勘探平硐布置示意 |
坝区工程勘探布置状况以及侧裂面发育特点决定了迹长研究应该采用以概率模型方法为主，确定性统计方法为辅的技术路线，具体方法如下：对于那些可以测量到全迹长侧裂面的平硐，其平均迹长可以直接利用统计方法计算获得，并将此作为迹长估计的真实值。在这些平硐附近局部范围内，往往还沿着其它方向布置一些勘探平硐，在其某一侧壁上，可获取各种与侧壁顶、底相互交切的侧裂面样本，侧裂面迹长可以利用各种概率模型方法计算获得。通过估计值与真实值之间的相互对比，判断迹长估计方法的正确性和可靠性。如果迹长估计方法是正确的，则可将这一方法推广至整个坝区侧裂面的迹长估计。
2.2 侧裂面迹长估计 由于侧裂面现场调查主要是在勘探平硐中进行的，所以以平硐为单位分别计算侧裂面迹长，具体算法采用式(1)～式(3).因篇幅所限，表1列出了坝区部分平硐侧裂面迹长计算结果。由表1可知，各种方法迹长估计值有如下几个特点：(1)当迹长短小时，在多数情况下，H-H方法与Laslett方法计算结果比较接近，两者之差一般不超过0.5m，2L0.5比两者均略大，它基本上反映了其平均迹长的上限。例如PD17、PD18-1、PD32、PD52以及PD45-2等。(2)当迹长较大时，H-H方法与Laslett方法迹长估计值均显著偏大。由于Laslett算法不受窗口尺度限制，所以其增加幅度明显高于H-H方法，而2L0.5方法的迹长估计值一般不超过2倍的硐高(4m).例如厂房PD13、PD45-4和PD45-5，H-H与Laslett迹长估计结果显然与实际情况不相符合。(3)H-H方法具有一定的“不稳定性”，主要表现在两个方面：一方面，当n2接近N时，其迹长估计值明显偏小，例如PD69平硐，H-H公式计算迹长值尚不足2m；另一方面，当n0较大时，其迹长估计值又明显增大，例如PD2、PD13、PD45-4和PD45-5等。
表1 各种算法估计迹长对比
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硐号 |
N |
n2 |
n1 |
n0 |
H-H法 |
Laslett法 |
2L0.5法 |
广义H-H法 |
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| ||||||||
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PD1 |
44 |
15 |
29 |
0 |
2.06 |
1.77 |
2.63 |
1.70 |
|
PD2 |
11 |
1 |
9 |
1 |
3.10 |
2.33 |
2.17 |
2.18 |
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PD13 |
20 |
1 |
12 |
7 |
4.01 |
4.38 |
2.46 |
2.75 |
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PD16 |
53 |
20 |
21 |
12 |
2.66 |
2.35 |
2.51 |
2.10 |
|
PD17 |
54 |
26 |
25 |
3 |
1.79 |
1.70 |
2.76 |
1.66 |
|
PD18-1 |
15 |
7 |
7 |
1 |
1.86 |
1.78 |
2.31 |
1.81 |
|
PD32 |
29 |
14 |
12 |
3 |
1.92 |
1.52 |
2.17 |
1.69 |
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PD45-2 |
24 |
11 |
13 |
0 |
1.66 |
1.37 |
2.27 |
1.52 |
|
PD52 |
21 |
5 |
15 |
1 |
2.49 |
2.09 |
2.50 |
1.95 |
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PD69 |
17 |
16 |
1 |
0 |
0.18 |
0.90 |
3.53 |
0.89 |
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PD69-1 |
29 |
10 |
11 |
8 |
2.88 |
2.60 |
2.37 |
2.34 |
|
PD45-4* |
68 |
0 |
25 |
43 |
5.09 |
10.08 |
2.70 |
3.42 |
|
PD45-5* |
27 |
0 |
9 |
18 |
5.09 |
11.18 |
2.27 |
3.49 |
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* 厂房区勘探平硐。 | ||||||||
3 广义H-H迹长估计法及其应用
3.1 广义H-H迹长估计方法 为了克服上述各种迹长估计方法的缺点，作者研究了一种迹长估计新方法。此方法能够正确解决Laslett对长迹长估计的局限性，有效消除H-H方法的不稳定性，理论上较其它迹长估计算法更完善、更成熟、更实用。其基本思想是：将面分成两组，其中一组由交切窗口的面组成，平均迹长lh按照推广的H-H迹长估计方法计算获得；另一组为两端可见面，其平均迹长l2等于全迹长均值，具体算法如下：
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l=n2/Nl2+(1-n2/N)lh |
(5) |
式中：l2和lh由式(6)和(7)确定：
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(6) |
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(7) |
式(7)是推广的H-H迹长估计方法，限于篇幅，推导过程在此从略。与H-H方法不同的是，对于给定一组统计样本，平均迹长不仅与窗口尺度有关，而且还与面在窗口内的视倾角φ有关，φ为面与窗口底边的夹角，详见图1所示。
式(5)的物理意义是：交切窗口面代表了长迹长面，迹长估计需要用概率方法解决；两端可见面代表了短迹长面，迹长估计问题已经成为确定性问题，可以利用统计方法直接求取。式(5)虽然与H-H算法密切相关，但是其实质上已经不是单纯的概率模型方法，而是概率模型方法与确定模型方法的有机结合，所以称式(5)～式(7)为广义H-H迹长估计公式。由于l2不可能为零，从而避免了当n2接近N时，H-H迹长估计值接近于零的情形。对于无限长窗口，由于忽略面与取样窗口两侧边的交切关系，所以式(5)可简化为如下形式：
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l=1/N[φ2-φ1/cosφ1-cosφ2(n1+2n0)h+] |
(8) |
3.2 广义H-H迹长估计方法检验 任何一种算法除了具有理论上的精确性、严密性和完备性外，更重要的是还必须接受实践的检验，因此如何验证广义H-H迹长估计算法的正确性是一个关键问题。按照圆盘理论，面走向方向和倾向方向迹长大致相当，那么侧裂面走向方向的全迹长平均值与其倾向方向平均迹长估计值应当相等，据此可以验证迹长估计的正确性。
表2 侧裂面估计迹长和全迹长对照
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基于概率模型的估计迹长 |
基于确定模型的平均迹长 | ||||||
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硐号 |
岩性 |
岩性段长/m |
平均迹长/m |
硐号 |
岩性 |
岩性段长/m |
平均迹长/m |
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PD45-4 |
角砾熔岩 |
263 |
3.42 |
PD45-3 |
角砾熔岩 |
145 |
3.40 |
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PD45-5 |
角砾熔岩 |
69 |
3.49 | ||||
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PD75 |
角砾熔岩 |
181 |
1.85 |
PD75-3 |
角砾熔岩 |
24 |
1.49 |
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PD75-1 |
角砾熔岩 |
53 |
1.82 | ||||
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PD87交 |
斑状玄武岩 |
330 |
1.81 |
PD87-1 |
斑状玄武岩 |
120 |
1.70 |
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PD87-3 |
斑状玄武岩 |
120 |
1.24 |
PD87-2 |
斑状玄武岩 |
140 |
1.35 |
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PD18-5 |
玄武岩 |
92 |
2.68 |
PD18-3 |
玄武岩 |
504 |
2.84 |
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PD18-6 |
玄武岩 |
140 |
2.76 | ||||
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PD56 |
玄武岩 |
108 |
1.65 |
PD56-1 |
玄武岩 |
21 |
1.85 |
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PD76 |
玄武岩 |
153 |
1.98 |
PD76交 |
玄武岩 |
148 |
1.52 |
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为此，采用式(8)对各勘探平硐侧裂面迹长进行计算，考虑到实际调查中侧裂面倾角大于60°，故取φ1、φ2分别为π/3和2π/3，计算结果如表2所列。由表2可见，除PD76差别较大(0.46m)外，多数不超过0.3m，估计迹长与全迹长总体上比较接近，由此可以证明，广义H-H迹长估计算法是正确的、可靠的和实用的。
3.3 广义H-H迹长估计方法应用 广义H-H迹长估计方法可以推广到坝肩抗力体部位，在实际计算时，仍然取φ1、φ2分别为π/3和2π/3，利用式(8)对坝肩抗力体各勘探平硐侧裂面迹长进行计算。为了便于各种迹长估计方法之间相互对比，将计算结果列入表1中。通过对比发现，其它迹长算法与广义H-H方法有如下关系：(1)当迹长短小时，广义H-H方法计算结果与Laslett接近，2L0.5法和H-H方法迹长估计结果略微偏高，但无严格的对应关系。(2)当迹长较大时，Laslett和H-H方法计算结果显著偏大，而2L0.5法略微偏小，例如PD45-4和PD45-5，只有广义H-H方法真实反映了侧裂面的实际迹长。(3)当n2接近N时，H-H方法完全失效(例如PD69)；多数情况下H-H方法迹长估计值较广义H-H方法偏大，主要原因是H-H迹长估计与面在窗口内的视倾角φ无关。(4)2L0.5是Laslett(1982)公式在n1=N时的一种特殊情形，通常情况下，其估计迹长值与n2和n0的相对数量有关，且与n2成正相关，即当n2较n0大，则估计迹长较广义H-H估计迹长偏高；反之，当n2较n0小时，估计迹长较广义H-H估计迹长偏低，这表明2L0.5迹长估计属于有偏估计。
4 结 语
迹长是岩体面定量描述的重要指标之一，迹长估计也是岩体研究中的一项重要内容。但是由于现有的各种迹长估计算法不能够全面反映面(视)倾角与迹长的关系，所以无法正确估计侧裂面迹长。作者在对西南某大型水电站工程侧裂面边界条件研究中，提出了一种适用于侧裂面迹长估计的新方法，即广义H-H迹长估计算法，并用之于该水电工程的侧裂面迹长研究中，取得了很好的应用效果。
参 考 文 献：
[1] 陈剑平，肖树芳，王清。随机不连续面三维网络计算机模拟原理[M]。长春：东北师范大学出版社，1995.
[2] 范留明，柴贺军，黄润秋。岩体二维可视化模型及其应用研究[J]。地质灾害与环境保护，2000，11(4)：341～345.
[3] 黄国明。节理岩体及其工程应用[D]。成都：成都理工学院，1999.
[4] 黄润秋，胡卸文，陶连金，等。金沙江溪落渡水电工程岩体模型及其工程应用研究[C]。成都：成都理工学院，1997.