关于灵活运用二次函数，提升学生解题的综合能力

论文网： 　　初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数特别是二次函数为例来加以更深地认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到另一个集合B（值域）上的映射“f：A→B”，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）。与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。在学生掌握了函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　类型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）。
　　这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）。
　　这个问题可理解为，已知对应法则f，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。
　　一般有两种方法：
　　（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
　　f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x替代x+1得f（x）=x2-6x+6。
　　（2）变量代换。它的适应性强，对一般函数都可适用。
　　令t=x+1，则x=t-1。
　　∴f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6，从而f（x）=x2-6x+6。
　　一、二次函数的单调性、最值与图像
　　在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-　]及[-　，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密的理论的基础上。与此同时，要进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性。
　　类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性。
　　（1）y=x2+2|x-1|-1
　　（2）y=|x2-1| 免费论文下载中心 　　（3）y=x2+2|x|-1
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像。
　　二、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维
　　类型Ⅳ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<　。
　　（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明x<f（x）<x1。
　　（Ⅱ）设函数f（x）的图像关于直线x=x0对称，证明x0<　。
　　解题思路：
　　本题要证明的是x<f（x）、f（x）<x1和x0<　，由题中所提供的信息可以联想到：①f（x）=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程f（x）-x=0可变为ax2+（b-1）x+1=0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a、b、c之间的关系式。因此解题思路明显有三条：①图像法；②利用一元二次方程根与系数的关系；③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：　　　　　　　　
　　（Ⅰ）先证明x<f（x），令f（x）=f（x）-x，因为x1、x2是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax2+bx+c，所以f（x）=a（x-x1）（x-x2）。
　　因为0<x1<x2，所以，当x∈（0，x1）时， x-x1<0， x-x2<0，得（x-x1）（x-x2）>0。又a＞0，因此f（x）＞0，即f（x）-x＞0。至此，证得x<f（x）。
　　根据韦达定理，有x1x2=　。∵0＜x1＜x2<　，c=ax1x2<x=f（x1）；又c=f（0），∴f（0）<f（x1）， 根据二次函数的性质，曲线y=f（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y=f（x）在闭区间[0，x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到。由于f（x1）>f（0），所以当x∈（0，x1）时f（x）<f（x1）=x1，即x<f（x）<x1。
　　（Ⅱ）∵f（x）=ax2+bx+c=a（x+-　）2+（c-　） （a>0）；函数f（x）的图像的对称轴为直线x=-　，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意得x0=-　。因为x1、x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-　　。
　　∵x2-　<0，∴x0=-　=　（x1+x2-　）<　，即x0=　。
　　二次函数，具有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以用它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。 免费论文下载中心