关于浅探“时钟夹角公式”在初中数学中的一点应用

“钟面上的数学问题”是小学阶段的常见问题，围绕速度、角度、对称等知识，利用一元一次方程的解决夹角问题更是小学中的重点内容，那学生到了初中又如何再次深入钟面进行探究呢？笔者认为学生在苏科版七年级学习了《用字母表示数》和《二元一次方程组》，可以找出求时针和分针的夹角的“时钟夹角公式”，利用它在已知分针与时针夹角后求具体时刻．
　　一、探究任意时刻的时钟夹角公式，为建立二元一次方程模型提供条件
　　学生发现若用α表示前针转过的角度减去后针转过的角度，那夹角就是α或360°－α。若分针在前：α=5.5n-30m；若时针在前：α=30m-5.5n，得出“时钟夹角公式”是|30m-5.5n|°或360°-|30m-5.5n|°。
　　二、特例研究，培养从特殊到一般的思想
　　1、变量取值范围
　　因为时钟12小时一循环，m可以取0，1，2，…，11；n可取0，1，2，…，59。所以|30m-5.5n|<330。
　　2、时针与分针重合
　　问题１：现在1点整，什么时刻分针和时针第一次重合？（引出方程的思想）
　　分析：第一次重合即m=1，夹角等于0，即|30m-5.5n|或360-|30m-5.5n|等于0，因为|30m-5.5n|<330，30-5.5n=0。
　　解：由30-5.5n=0得n=5　，所以第一次重合的时间为1∶5　。
　　问题２：从0∶00开始12个小时内时针和分针会重合几次？你能写出所有的时刻吗？
　　分析：由上题知解方程30m-5.5n=0即可，枚举法列出所有解。
　　解：解方程30m-5.5n=0得时钟在下列时刻时针与分针重合：0时0分，1时5　分，2时10　分，3时16　分，4时21　分，5时27　分，6时32　分，7时38　分，8时43　分，9时49　分，10时54　分，共重合11次。
　　由一元一次方程向二元一次方程递进，探索利用夹角公式解决夹角问题的一般步骤，在解题过程中加深对解的合理性的理解，关注到解的取值范围是方程思想的重要内容。
　　3、分针与时针成一条直线（不含重合）
　　问题3：从0∶00开始12小时内，分针和时针会在什么时刻成一条直线（不含重合）？
　　分析：|30m-5.5n|=180或360-|30m-5.5n|=180，即30m-5.5n=180或30m-5.5n=-180，要关注解的合理性，注意解的取值范围。
　　解：∵|30m-5.5n|=180
　　∴30m-5.5n=180或30m-5.5n=-180。 免费论文下载中心 　　 解出方程30m-5.5n=180和30m-5.5n=-180符合条件的解，得出时钟在下列时刻时针与分针成一条直线：0时32　分，1时38　分，2时43　分，3时49　分，4时54　分，6时整，7时5　分，8时10　分，9时16　分， 10时21　分，11时27　分。
　　分针与时针成一条直线是夹角问题中另一个比较简单的问题，但是解一个二元一次方程已不能解决问题，此问题拓宽了学生思维的深度，为下面研究多个方程提供了可能。
　　4、分针与时针成直角
　　问题4：从0∶00开始12小时内，分针和时针会在什么时刻成90°？
　　解：∵|30m-5.5n|=90或360-|30m-5.5n|=90
　　∴|30m-5.5n|=90或|30m-5.5n|=270
　　∴30m-5.5n=90或30m-5.5n=-90，或30m-5.5n=270或30m-5.5n=-270。
　　解出符合条件的解，得出0时16　分，0时49　分、1时21　分、1时54　分、2时27　分、3时0分、3时32　分、4时5　分、4时38　分、5时10　分、5时43　分、6时16　分、6时49　分、7时21　分、7时54　分、8时27　分、9时0分、9时32　分、10时5　分、10时38　分、11时10　分、11时43　分时，时针与分针的夹角是90度。
　　从特殊到一般的思想是学习数学一个重要的思想方法，是学生探究性学习的重要手段，在数学教学的过程中培养学生的数学思想方法至关重要．
　　三、归纳总结，建立模型，提高解决问题的能力
　　已知两针所成的角为x度，你能说一说怎样求具体时间吗？(1)设具体时间为m时n分（m取0，1，2，…，11；n取0，1，2，…，59）。
　　(2)列出方程|30m-5.5n|=x或|30m-5.5n|=360-x。
　　(3)去掉绝对值符号化为二元一次方程30m-5.5n=x或30m-5.5n=-x或30m-5.5n=360-x或30m-5.5n=-（360-x）。
　　(4)求出二元一次方程符合条件（x取0，1，2，…，11；y取0，1，2，…，59）的解。
　　(5)列出具体时间。
　　学生在建立好模型以后，解决夹角问题就转化为了求多个二元一次方程的解的问题，学生感受到建立数学模型的重要性、便捷性、有效性，意识到有目的的归纳和总结可以帮助我们更好地解决问题，感受数学广泛的应用性。在平时的教学过程中我们要根据教学实际，有意识地向学生渗透数学建模思想，学生的建模能力定会有提高，从而他们分析问题、解决问题的能力也会有提高。 免费论文下载中心