摘要：良好的认知结构有利于同化新的知识，有利于迁移到新的学习情境，因而，设计总复习是必要的。总复习设计遵循可持续发展原则、提供线索原则和兼顾教与学原则。在具体设计时，要提供梳理知识的线索，提供适切的数学活动，提供具有综合性、挑战性的习题，提供探索的空间。这样设计总复习，超越了知识的强化，有利于学生认知结构的形成和优化；超越了技能的训练，有利于学生解决问题能力的提升。总复习为学生的发展做了准备。
关键词：小学数学教科书；总复习设计；原则；策略
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称新课标）颁布至今已有五个年头，第一轮新课标小学数学教科书的编写几近尾声，关于总复习的问题自然提上了日程。在全面实施新一轮基础教育课程改革的背景下，有没有必要设计小学数学总复习？如果有必要，那么怎样设计总复习？总复习设计应遵循哪些原则？采取哪些策略？本文结合编写新课标小学数学教科书的实践，对上述问题进行了思考。
一、总复习设计的必要性
（一）数学知识发展的需要
从小学到初中，数学知识发生了较大的变化：既有量的变化，又有质的变化。量的变化即知识外延的扩充，比如数从非负有理数到有理数。质的变化即知识性质发生了变化，这一点尤为突出。比如，数与代数部分，从数发展到代数，从具体的量到抽象的量，从具体的运算到抽象的运算，总体而言是从常量数学发展成了变量数学，这是数学发展的一次飞跃；空间与图形部分，从动手操作、特征认识、度量计算，发展到特征认识、度量计算与演绎证明相结合，总体而言，是从操作几何发展成了演绎几何，直观感知上升到逻辑推理，是数学学习必须逾越的一道关口；统计与概率部分，从定性感受、简单计算，发展到定性感受、定量计算并能进行一定的逻辑推理，总体而言，是从定性描述发展成了定量思维。
数学知识性质的变化，容易给学生的学习带来困难。“毋庸置疑，历史上数学家所遇到的困难，恰恰正是学生会遇到的学习障碍。”［1］如何克服这些障碍呢？学生“由小学经中学以至大学的进程中所存在的部分困难……可以依靠在教学中强调结构和原理的办法来弥补”。［2］（43）通过复习，“突出那些最为核心的基本概念和基本原理以及它们之间的联系，用这些基本的知识统率其他知识，就能够解决中小学数学的衔接问题”。［3］因为这样的知识结构具有“生产性”，具有迁移力。［4］（125）
（二）数学学习的需要
“学生是通过联结先前知识和新知识而学习的”“互相关联且建立在概念和原理上的知识能够比较容易地被用于新的情境”。［5］通过对先前概念、原理等知识的梳理，通过对概念、原理之间联系的建立，有利于形成良好的认知结构，有利于学生的学习。
有利于同化新知识。学习新知识，就要联结先前的知识，这就要求先前知识和新知识之间有着合适的潜在距离。通过复习，学生“将教材知识结构转化成自己的认知结构”，［6］拥有了这样的认知结构，就“能够缩小高级知识和初级知识之 间的差距”。［2］（42）这样，新旧知识之间就有了合适的潜在距离，旧知识为新知识的学习提供了合适的固着点。因而，容易建立新旧知识之间本质的和非人为的联系，从而，使新知识获得意义，产生有意义的学习。［7］
有利于把学习迁移到新的情境。新知识的性质发生了较大的变化，需要以原来的知识作基础，需要迁移原来的学习。迁移是人类认知的普遍特征，“学生具备迁移的能力，方可灵活运用所学的知识技能来解决新问题，或在新情境中进行快速的学习”。［8］对旧的学习的迁移，不是知识点的点滴迁移，而是概念、原理、策略、方法、态度的迁移，特别是知识结构的迁移。这就需要系统的、结构化的知识。“领会基本的原理和观念，看来是通向适当的训练迁移的大道”。所以，应该“给予那些和基础课有关的普遍的和强有力的观念和态度以中心的地位”，［2］（37）也就是把结构放到中心的地位。
比如，对于分数，其核心概念和基本原理是分数的意义、性质和分数与除法的关系，利用这些核心概念和基本原理，即可建构起关于分数的认知结构。这就为分式的学习提供了知识的固着点，分式的知识就容易获得意义、容易理解了。分数的知识也就容易迁移到分式了。同样地，如果学生拥有比较牢固的非负有理数知识，再学习有理数时，就容易多了，从计算的角度而言，仅仅多了一个符号问题。这是典型的产生式迁移。
（三）良好学习习惯养成的需要
体验知识发生发展的过程，自觉整理知识、提炼知识、建立知识之间的联系，是学习的良好习惯。研究表明，优秀的学生与一般的学生相比，擅长反思和总结，习惯将知识以网状形式存储。“获得的知识，如果没有完满的结构把它联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。”［2］（48）
良好的学习习惯是一个学生成功的关键因素之一。教师指导学生学会学习的一条重要途径就是培养学生良好的学习习惯，体验、提炼、建立知识之间的联系就是好的学习习惯。复习有利于养成学生一丝不苟的学习态度，有利于养成学生从宏观的角度、以联系的观点看问题的习惯。另外，在复习中，学生“由于发现观念间的以前未曾认识的关系和相似性的规律”，而能够“产生对本身能力的自信感”。［2］（39）
二、总复习设计的原则
（一）可持续发展原则
总复习的落脚点在于，为学生下一步学习打好基础，为学生的进一步发展做好准备。总复习要体现前瞻性、发展性、可持续性。
超越知识的强化，形成认知结构。数学知识有着比较清晰的发生、发展、演变的脉络，知识之间有着比较严密的逻辑关系；数学知识与日常生活和其他学科之间有着密切的联系。理清了这些脉络，把握了这些联系，就可以建构起对数学知识的认识之网。总复习要注重知识的来龙去脉、生成演变，注重知识之间联系的打通和建立。这样的总复习超越了对知识的强化：通过对知识的梳理，形成良好的认知结构；而良好的认知结构具有再生性和迁移力。
超越技能的训练，提升能力。“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合应用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，形成解决问题的一些基本策略”是新课标的基本要求之一。［9］（7）总复习要提供一些具有应用性、探索性、开放性的数学活动，让学生在活动中、在解决问题中，创造性地应用知识，提升能力。因而，这样的复习不再仅仅是技能的训练。
同时，要关注学生的全面发展。总复习要促进学生的全面发展，要关注多维课程目标的落实，亦即，除了认知结构的形成、能力的提升外，要培养学生对数学积极的情感态度，培养学生良好的学习习惯，培养学生对数学一丝不苟的精神，培养学生对数学持久的兴趣。
（二）提供线索原则
总复习提供的是学生进行复习的基本线索，这些线索包括：梳理知识的线索，进行数学活动的线索。这些线索要有利于学生按照知识发生、发展的脉络来梳理知识，按照知识之间的纵横联系来梳理知识；要有利于学生在一个适当的情境中综合地、创造性地应用所学的知识、方法和策略来解决问题。
既然是线索，就要注意线索的启发性、引导性、统率性；既然是线索，就要提纲挈领，简明扼要；既然是线索，就要提供给学生自己梳理知识、自主开展活动的空间。总复习绝对不是把已经学过的知识再呈现一次，教师再唠叨一回，学生再回顾一遍。总复习就是要求学生按照线索梳理知识，开展活动：自己建构起知识与知识、知识与生活的联系。
这条原则事实上也体现了总复习的活动性。
（三）兼顾教与学原则
总复习的设计要兼顾教与学两个方面：既利于教师的教，又利于学生的学；既发挥教科书的教材作用，又发挥教科书的学材作用。
总复习的设计既要利于教师的教，又要利于学生的学，这是对教师与学生双主体的尊重。特别地，由于总复习不再是新知识的生长，而主要是认知结构的重组和优化，故而，总复习要充分考虑到以学生的学习为主，以学生的活动为主。教师的作用体现在组织、指导学生开展活动上，体现在对学生获得的结果（本质上就是认知结构和解决问题的策略）进行优化上：在学生梳理知识时，教师要适时介入，并对学生梳理的结果进行评价，以帮助学生优化认知结构；在学生开展数学活动时，教师要为学生的认知搭建必要的脚手架，以保持学生高水平的认知活动。
“教材的编写应有助于确立学生在学习过程中的主体地位”“教材的编写还要有利于调动教师的主动性和积极性，鼓励教师进行创造性的教学”。［9］（59-79）从而，教材就应兼顾学与教，促进师生间的积极互动。“教科书不仅是教师用以指导学生的‘教材’，也是学生用以学习的‘学材’，而后者的意义更加重要。”［4］（389）作为总复习，教科书为学生的学习提供了线索，更多地面向学生。
三、总复习设计的策略
（一）提供梳理知识的线索，促进认知结构的形成和优化
梳理知识的线索要突出知识发生、发展的过程和脉络，以便于学生建立知识之间的纵横联系，加深对知识的理解；梳理知识的线索要突出核心概念、基本原理的地位，以便于学生用它们统率相关的知识，形成结构化的知识体系。
比如，数与代数部分，知识梳理的线索可以是：（1）按照数生成、发展的顺序来理解数（包括数的意义、表征、大小、稠密性、数量之间的关系）；（2）理解数的运算（包括运算的意义、运算的方法、各种运算之间的联系）；（3）等式与方程；（4）比例。这样进行梳理，学生既可以加深对数与运算的理解，又可以受到研究方法的濡染：为什么引入新数，引入新数后按照怎样的思路进行研究（学习）。
教科书可以用学生对话的方式来呈现“理解数”的线索，例如：
学生A：我们学习了整数、分数、小数，还初步认识了负数……
学生B：我知道数的一些性质，如分数的性质……
学生C：整数、分数、小数之间有密切的联系……
细言之，纵向看，从自然数、分数到负数，数的每一次扩充都源于现实的需要：为了表示部分，引进分数；为了表示具有相反意义的量，引进负数。横向看，每产生一种新数后，就要了解它的意义、它的表征，它与其他数量之间的关系，它的四则运算的意义和法则。整数、分数与小数意义之间的联系，分数与小数基本性质之间的联系，整数、分数与小数运算之间的联系，是把横向梳理联结起来的桥梁。
转贴于 免费论文下载中心又比如，空间与图形部分，教科书可以用学生对话的方式来提供“平面图形面积的计算和应用”的梳理线索：
学生D：我会计算三角形的面积，计算公式是……
学生E：用平行四边形的面积公式可以推导出三角形的面积公式……
学生F：不规则图形的面积怎样算呢？
如果说学生D提供的仅仅是对知识简单回忆的线索，那么，学生E提供的就是探索知识生成演变、建立知识之间联系的线索，亦即由长方形的面积公式推导出平行四边形与圆的面积公式，由平行四边形的面积公式推导出三角形、梯形的面积公式。学生F提供了求不规则图形面积的思路：用规则的图形来逼近不规则的图形。
在实际教学中，教师要为学生提供自主梳理知识的时间和空间，不能越俎代庖。学生良好的认知结构是在个人思考中初建的，在小组合作中形成的，在班级交流与教师的指导下优化的。
（二）提供适切的数学活动，促进解决问题能力的提升
总复习可以提供具有较强现实性、应用性、探索性和开放性的数学活动。学生在活动中应用已经梳理的知识，提升解决问题、探索认知的能力。
比如，为了让学生应用平面图形知识解决实际问题，可以设计以下数学活动。
活动1：在一个长9米，宽4米的长方形草地上，设计一个花坛，花坛的面积恰好是草地面积的一半。请给出你的设计。
这是一个开放度较大的数学活动。学生可以把花坛设计成三角形、长方形、平行四边形、梯形；可以从美观、实用的角度对设计方案进行优化。甚而，学生在寻求面积为18m2的图形时，可以探索得到“等底等高的三角形面积相等”。
又比如，为了让学生体会平面坐标系的本质是位置数量化，建立起数与形之间的联系，并为下一步学习平面直角坐标系埋下伏笔，可以安排下列活动。
活动2：下面是幸福村的平面示意图。
（1）说一说。学校、种植园、工厂、冬冬家、养殖场分别在村委会的哪个方向？村委会分别在这些地方的哪个方向？
（2）量一量，填一填。①种植园在村委会北偏东45方向的2200m处，表示为（45，2200）。②冬冬家在村委会（），表示为（）。
（3）说一说。①种植园的位置描述为从村委会向东走3个单位，再向北走3个单位。②工厂的位置描述为从村委会（）。
（4）填一填。①学校的位置表示为（2，0）。②种植园的位置表示为（）。
（5）算一算。幸福村的总面积大约是多少？
用语言描述某一建筑物的方向和距离，然后用数字来表示这一建筑物的位置，其中隐含、渗透着极坐标的思想。用语言描述从村委会出发，向东（西）走、向北（南）走多少个单位，确定某一建筑物的位置，然后用数字来表示该建筑物的位置，其中隐含着直角坐标的思想。这是很好的数学本原性问题，也是已有知识的拓展与延伸。
在以上数学活动中，学生既复习了旧知识，又探索了新知识。这样的复习“瞻前顾后”，能够促进学生能力的提升。
（三）提供具有综合性、发展性和挑战性的习题，促进知识与知识、知识与生活联系的建立
习题设计是总复习设计的一个重要环节。总复习中的习题与新授课后的习题有较大的不同，总复习中的习题，概括程度要高，综合性要强，覆盖面要大，要具有适度的挑战性、开放性、应用性；总复习中的习题，题量要少，题目要精。比如，可以提供这样的练习题：
练习1：把下页图中的6个小正方形涂上颜色。使用这个图，直观地说明怎样解决下面的问题：（1）涂色部分用百分数表示是多少；（2）涂色部分用小数表示是多少；（3）涂色部分用分数表示是多少。
如果按照程序化的方法，这个问题易于解决。但是，题目中要求“使用图”来解决问题。这样，学生就必须建立起百分数、分数、小数意义的直观表征，就必须通过直观图建立起它们之间的联系。
练习2：小山羊、小白兔、小松鼠在草地上各围了一块菜园（小山羊围的是一个边长为6.28m的正方形。小白兔围的是一个长宽分别为6.56m、6m的长方形。小松鼠围的是一半径为4m的圆）。（1）它们各用了长多少米的篱笆？（2）谁围的面积大？谁围的面积小？（3）在解决问题的过程中，你发现了什么？
解决这个问题，学生要使用平面图形周长和面积的计算公式。该问题的精彩之处在于，要通过对面积和周长的对比，猜测、发现一条规律：同样的周长，围成圆形的面积最大。
这些练习题既有利于对基础知识和基本技能的复习，又有利于能力的提升。这些练习题具有一定的层次性和较强的适应性，不同程度的学生可以得到不同的体验和收获。
（四）提供探索的空间，促进学生的探索与交流
总复习要为学生的探索和交流提供足够的空间。具体说来，可以通过总复习的下述特性体现出来。
线索的启发性。线索本身只是指出了梳理的方向和纬度，具体工作由学生来完成。
活动的探索性。总复习所提供的活动具有一定的探索性、开放性，这就给学生创造了自主活动的空间。比如，活动1。
习题的挑战性。总复习所提供的习题具有一定的综合性、挑战性，学生可以根据自己的情况，给出不同层次、不同水平的解决方案。比如，练习1。
思考题的前瞻性。总复习可以提供一些具有前瞻性的问题供学生思考。比如，可以提供这样的思考题：
思考题：在小学里，大的数可以除以小的数，小的数也可以除以大的数。大的数可以减小的数；想一想，小的数可以减大的数吗？
提供给学生探索的空间，才能够真正转变学生的复习方式，避免教师条分缕析式的讲解。
（五）呈现方式生动活泼，激发学生的学习兴趣
总复习可以设置知识梳理、课堂活动、 练习、问题与思考、综合实践与应用等栏目。对这些栏目，可以使用学生感兴趣的图片、卡通、游戏、表格以及生动活泼的文字表述等方式来呈现，达到图文结合、数形结合。对这些栏目，可以设置成“议一议”“做一做”“想一想”，达到动静结合，自主探索与合作交流结合，从而使学生在学中乐、在乐中学。
参考文献
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