俄罗斯现行中学几何教材的比较分析

摘要：俄罗斯数学教材呈现多元化、多样化的局面后，普通学校使用比较多的现行中学几何教材有四套。比较分析这些教材的异同点、适用范围以及教材在处理公理化思想的做法，无疑会对我国正在进行的数学课程改革具有借鉴作用。对我国几何教学改革有以下启示：1.几何教学要有逻辑体系，不能只是空间关系和图形的介绍。2.坐标、向量和变换的概念是需要学生掌握的基础知识。3.应该建立适合中国自己的课程体系。

关键词：俄罗斯；中学；几何教材

20世纪初一直到60年代，俄罗斯全国通用由基谢廖夫（А.П.Киселев，1852—1940）主编的《平面几何》与《立体几何》教材。60年代中期俄罗斯进行了数学教育现代化的改革，中学改用由柯尔莫戈洛夫（А.Н.Колмогоров，1903—1987）主编的几何教材。80年代以后，为打破教材单一的局面，教育部开展编写中学数学教材的竞赛活动并在《学校数学》1987年No4；1988年No5上公布了数学教材竞赛的结果。《7—9年级几何》教材：阿达纳相（Л.С.Атанасян И др.）等主编的获一等奖；巴卡列罗夫（А.В.Погорелов.）主编的获二等奖；亚历山大罗夫（А.Д.Александров И др.）等主编的获三等奖。《10—11年级几何》教材：阿达纳相等主编的获一等奖；巴卡列罗夫主编的获二等奖。1992年，这些获奖教材被教育部推荐出版并在普通学校推广，供数学教师选择使用。至此，俄罗斯数学教材呈现多元化、多样化的局面。

现对普通学校使用比较多的以下现行四套中学几何教材的内容与特点加以介绍：巴卡列罗夫主编的《7—9年级几何》和《10—11年级几何》；阿达纳相等主编的《7—9年级几何》和《10—11年级几何》；亚历山大罗夫等主编的《7—9年级几何》和《10—11年级几何》；沙雷金（И.Ф.Щарыгин）主编《7—9年级几何》和《10—11年级几何》。

一、中学几何教材的基本内容

表1 几何教材基本内容

二、教材异同点的比较分析

（一）四套中学几何教材的共同点

从内容上看，这几套教材的共同点如下：

7—9年级：学习最简单的点、线、面所组成的直线、线段、角等基本概念；先学习三角形全等的判定，后学习平行公理；都学习三角形的边角关系，解三角形（包括毕达哥拉斯定理、正弦定理、余弦定理），四边形，多边形，几何作图，圆，运动、坐标、向量。

10—11年级：学习直线与平面的平行、垂直，二面角，多面体、旋转体，坐标系与空间向量，体积。

四套教材都以欧氏几何为主要内容，虽然出现了坐标的内容，有的学习了圆与直线的方程，但并不学习解析几何中的圆锥曲线──椭圆、双曲线、抛物线方程。教材整体上是在图形全等的基础上学习证明方法的。

（二）四套中学几何教材的不同点

1. 除沙雷金的《7—9年级几何》之外的其他三套《7—9年级几何》教材中，都介绍了立体几何初步的知识。

2. 亚历山大罗夫主编的《7—9年级几何》中没有圆的方程与直线方程的内容，其他三套中有这部分内容。

3. 《7—9年级几何》教材中，巴卡列罗夫的是先讲相似变换，后讲相似三角形；阿达纳相的是直接讲相似三角形，并没有学习变换的概念；亚历山大罗夫的也不学习变换概念，直接讲相似；沙雷金的没有讲相似三角形的内容，讲的是位似变换的内容。

4. 《10—11年级几何》教材中，亚历山大、沙雷金等所编写的几何教材是借助于变换来学习证明方法的；巴卡列罗夫、阿达纳相仍旧采用传统几何的方式学习证明方法。

5. 亚历山大罗夫主编的《10—11年级几何》中没有三垂线定理的内容，其他三套中有这部分内容。

6. 在正多面体的学习内容中，沙雷金的最多，巴卡列罗夫的最简单。

7. 在求体积的问题上，巴卡列罗夫、阿达纳相引入了定积分的概念与符号，亚历山大和沙雷金只渗透了概念，并没有出现定积分的概念与符号。

（三）四套中学几何教材的适用范围

俄罗斯现行数学课程包括代数与几何两个部分。

针对7—9年级的几何总学时数共204学时，7—9年级的每个年级学习68学时的几何。

7—9年级的代数总学时数，最少要求：324学时，最多不超过476学时。7年级有两种方案：120学时，136学时；8年级有三种方案：102学时，119学时，170学时；9年级也有三种方案：102学时，136学时，170学时。各个学校可以自主选择。

10—11年级的几何学时数，有两种方案：数学总学时数为204学时的课程A，几何占65学时；数学总学时数为340学时的课程B，几何占136学时。

1998年俄罗斯颁布普通中学教学计划，分为基础教学计划与典型教学计划两种方案，其中数学课程的周学时数见下表：

表2 普通中学数学教学计划中的周学时数

1999年颁布了《普通中学毕业生数学培养方面的质量评定》。这个文件包括《中学数学教育必须学习的最少内容》《普通中学毕业生数学培养的最低要求》和《中学毕业生必须达到的数学培养水平的具体要求和问题样例》，没有上限的说明，并对10—11年级提供了两种课程要求：对不打算进入高校自然科学专业的学校和班组的毕业生，建议学习每周为3学时的基础课程（A），对自然科学有所侧重的毕业生学习每周为5学时典型课程（B），课程A中对几何方面的要求是：学习几何体和它们的性质、几何量的测量、学生应会按立体几何的条件作图；理解立体图形；通过计算几何量解不复杂的问题；作几何体的最简单的截面。课程B对几何方面的要求是：学习按立体几何的条件作图；理解立体图形；进行必要的论证解计算几何量的问题；解决不复杂的证明题；作几何体的截面。

巴卡列罗夫、阿达纳相的教材适用于基础教学计划，属于课程（A）；而亚历山大罗夫等、沙雷金的教材适用于典型教学计划，属于课程（B）。

三、教材选编公理的比较分析

（一）对巴卡列罗夫主编的教材

平面几何所选的基本概念是：点，直线，平面。所选公理如下：

1. 属于公理

1.1 任意一条直线上都存在着属于这条直线的点，也存在着不在这条直线上的点。

1.2 任意两个点都可以作一条且只作一条通过这两个点的直线。

2. 顺序公理

2.1 在一条直线上的三个点有且只有一个点在其他两点之间。

2.2 直线把平面分为两个半平面。

3. 线段与角的度量公理

3.1 每条线段都有一个大于零的确定的长度。如果点C在线段AB上，那么线段AB的长度等于线段AC和BC的长度之和。

3.2 每个角都有一个大于零的确定的度数。平角等于180°。如果射线oc在∠AOB的内部，那么∠AOB的度数等于∠AOC和∠BOC的度数之和。

4.存在公理

4.1 在任意射线的始点可以作一条且只作一条线段等于已知线段。

4.2 从任意射线出发可以向已知半平面上作一个且只作一个已知度数小于180的角。

4.3 给定一条射线与任意一个三角形，以这条射线为一边，存在一个与已知三角形相等的三角形。

5. 平行公理

经过不在已知直线的点，可以在平面上作不多于一条与已知直线平行的直线。

立体几何所选公理是：

1. 任意平面都存在着属于该平面的点，以及不属于它的点。

2. 如果两个平面有公共点，那么它们相交于经过这个点的直线。

3. 如果两个不同直线有公共点，那么经过这两条直线可以作且仅作一个平面。

（二）对阿达纳相等主编的教材

平面几何的基本概念是点和直线。所选公理为：

1. 经过任两点有且只有一条直线。

2. 在任意射线上从它的始点出发可以作一条且仅作一条与已知线段相等的线段。

3. 以任意射线为已知边，向某一侧可以作一个且只作一个与已知的非平角相等的角。

4. 经过不在已知直线上的一个点，只有一条与已知直线平行的直线。

在9年级的书末介绍了包含上面4条公理的16条公理体系。

立体几何的公理如下：

1. 过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面。

2. 如果直线上两个点在平面内，那么直线上的所有点在这个平面上。

3. 如果两个平面有一个公共点，那么它们有一条在这两个平面上的公共直线。

（三）对亚历山大罗夫与维尔尼，雷日克三人合编的教材

教材选取点、线段、图形作为基本概念。先介绍了欧几里得的三个公设：

1. 从任意点到任意点可以作一条直线。

2. 可以把线段沿两个端点方向延长。

3. 从任意点为圆心，任意长为半径可以画一个圆。

然后给出如下的公理：

1. 等于同一量的彼此相等。

2. 等量加等量，其和仍旧相等。

3. 等量减等量，其差仍旧相等。

4. 增加同相的倍数仍旧彼此相等。

5. 等量之半彼此相等。

6. 整体大于部分。

随后，给出平面几何的公理：

1. 线段比较公理

1.1 等于同一条线段的两条线段相等。

1.2 在每条射线的始点上可以放一条且只能放一条与已知线段相等的线段。

2. 角的公理

2.1 相等的角的对应弦相等。

2.2 以每个已知角的任意一边为边，可以再作一个且仅放一个等于已知角的角。

3. 平行公理

经过不在已知直线上的一个点，有唯一一条与已知直线平行的直线。

在9年级教材的最后也介绍了平面几何的公理体系。

立体几何公理如下：

1. 空间中存在平面。经过空间中的任三点可以作一个平面。

2. 如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于过这点的直线。

3. 如果直线过平面上的两点，那么该直线在这个平面内。

4. 空间任两点之间的距离同样在包含这两点的所有平面上。

5. 每个平面都把空间划分为两个以这个平面为界限的半空间。

（四）对沙雷金主编的教材

平面几何的基本概念是：几何体，表面（其中包括平面），曲线，点。

教材中没有明确提出公理的概念，而用“基本性质”一词来代替公理。引入了如下的平面基本性质：

1. 经过平面的任意两点可以作且只能作一条直线。

2. 平面的任意一条直线把这个平面分成两部分──两个半平面。

3. 任意平面直线是该平面的对称轴。

4. 经过位于平面上已知直线外的任意一点，可以作不多于一条的与已知直线平行的直线。

空间的基本性质：

1. 空间中任意三个不在一条直线上的点存在唯一一个包含这三点的平面。

2. 任意一个平面把空间分成两个部分──两个半空间。

四、对我国几何教学改革的启示

（一）几何教学还是要有逻辑体系，不能只是空间关系和图形的介绍

通过前面的比较分析可知，俄罗斯现行中学几何教材具有鲜明的公理化体系。这表明俄罗斯数学教育界认为在中学学习公理方法是有必要的。理由是“它对数学思维的发展给予良好的影响，有利于理解数学理论的抽象性的本质和意义，抽象性，保证了有可能把理论应用到种种具体情况中去”。^［1］我们赞同这种观点。

改变了欧氏几何长达两千年统治几何学的历史的是俄罗斯的数学家罗巴切夫斯基；成功地将公理化方法运用概率论学科发展上的也是俄罗斯的以柯尔莫哥罗夫为首的一批数学家。因此，即使受到西方数学教育现代化改革的影响，几何教材的体系发生了很大变化，公理化的特点逐渐变弱，俄罗斯仍以传统欧氏几何的公理化体系组织教材。因此，我们认为我国的几何教学还是要有逻辑体系，不能只是空间关系和图形的介绍。

（二）在处理圆锥曲线与坐标、向量和变换两种方案上的分歧

与俄罗斯的几何教材相比较，我国从1909年颁布的“学部奏变通中学堂课程分为文科实科折”中的实科（相当于现在的理科）就有解析几何（主要讲圆锥曲线的内容），只是在1952年（全面学苏的时代）的中学数学教学大纲将其删掉。1960年教育部又在高中增设解析几何。从此，我国高中数学就一直包含有圆锥曲线的内容。

原苏联时期的几何教材中就不包含圆锥曲线的内容，现行俄罗斯的几何教材中仍旧没有这部分内容。但是，在介绍坐标、向量和变换方面现行俄罗斯的几何教材比我国的数学教材内容多。

究其原因，我认为圆锥曲线的内容实际上是几何学代数化。“代数方法纯粹是机械的，代数能使我们少动脑筋。可随着情况的复杂，代数的优点将趋于消失。……对于根本性的理论问题，很难说解析法比综合法要好。”［2］变换几何与欧氏几何并不对立，它类似于欧氏几何，能够促进学生空间直觉与逻辑思维方面的智力发展。例如，等腰三角形具有对称轴，平行四边形具有对称中心。我们可以用旋转与平移证明像“对顶角相等”“平行线同位角相等”这样传统欧氏几何的定理。而且，正是由于变换的概念被引进几何学，我们才更深刻地认识了解析几何与欧氏几何之间的密切联系。

另一方面，是受柯尔莫哥罗夫主编的几何教材的影响。虽然，柯尔莫哥罗夫用变换群的观点编写的几何教材，遭遇了与西方数学教育现代化改革相似的命运。但是，俄罗斯数学教育界还是吸收了柯尔莫哥罗夫主编教材的许多有益的方面。从上述这些教材中可以看到，巴卡列罗夫、阿达纳相、亚历山大罗夫等、沙雷金所编写的几何教材，在组织学校几何课程的内容时，逐渐在减少传统欧氏几何内容的容量，依次增强坐标、向量、变换等非传统内容。可见，他们都赞同坐标、向量和变换的概念是需要学生掌握的基础知识。

（三）关于我国的几何教学体系的建议

20世纪50年代，我国从课本到教学原则、教学方法等几乎都是以苏联的教育理论为基础展开的数学教学。改革开放后，为了跟上世界数学教育发展的步伐，借鉴世界发达国家数学教学改革的经验，我国进行了与新数学运动十分相似的改革。例如，强调基础教育要考虑社会发展的客观要求与现代数学的影响；精选传统内容，删减用处不大的内容；增加微积分、概率统计、逻辑代数等初步知识；渗透集合、对应等数学思想。进入21世纪后，又进行了与美国类似的课程改革。仅从几何教学上看，初中阶段削弱传统几何，增加变换与坐标的内容；高中阶段包含立体几何、平面解析几何，同时增加平面向量与变换的内容。由此可知，在对待国外改革的经验时，我们好像总是在取并集，只要好的都想要。然而，这样势必造成负担过重，多得教不过来，丢三落四失了体系。

为此，应该研究建立适合中国自己的课程体系。

在中学阶段需要把一部分数学理论按公理化的体系建立，以便学生可以通过这样课程的学习理解现代的公理方法。同时，课程设计在数学教学的不同阶段，应该用不同的方法把逻辑与直观有机地结合起来，这样有利于培养学生的思维能力与空间直觉。因此，我认为我国的几何教学可从以下几条公理出发：

1. 直线公理：经过任意两点可以作且仅作一条直线。

2. 平面公理：经过不在一条直线上的三点可以作且仅作一个平面。

3. 直线与平面公理：一条通过平面上两点的直线属于该平面。

4. 平行公理：经过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行。

同时，结合坐标与变换的方法，将平面几何与空间几何统一教学，建立较为系统的几何教学体系。当然，我们还要解决这里所说的系统的几何课程中应包括什么材料、教科书应该怎样处理定理的证明以及平面几何与空间几何如何统一等问题。这些问题的解决将直接关系到几何教学的质量。

参考文献

［1］A A斯托利亚尔.数学教育学［M］.北京：人民教育出版社，1984，169.

［2］张奠宙，等.近代数学教育史话［M］.北京：人民教育出版社，1990，104—105.