摘要：在我国城市隧道施工引起的地面变形的研究和工程领域中，随机介质理论法和 Peck 法是 2 种应用较广的方法。但是目前对这 2 种方法各自的应用条件、二者的理论联系、计算结果的关系等方面还没有明确的结论。除此以外，由于随机介质理论法应用经验相对少，相应的关键参数的取值方法也很不成熟，基于理论背景研究和实际算例分析，对随机介质理论法和 Peck 法进行深入全面的比较和探讨。经过推导认为，Peck 法适用于隧道埋深较大、隧道开挖面积较小的情况，是随机介质理论法在隧道埋深较大情况下的一个近似，而不适用于超浅埋的情况。在此基础上，比较二者计算参数的关系，并对随机介质法的 2 个关键计算参数，即主要影响角和断面收缩半径提出简单而有效的工程确定方法，大大地增强随机介质理论法的工程实用性。通过较多实际工程的验证，证明上述方法的有效性和可靠性。
关键词：隧道工程；地铁；地层位移；沉降槽；随机介质理论法；Peck 法；计算参数
1 引 言
目前我国已经进入城市地铁建设的高峰期，地铁隧道开挖在城市环境中会引起一系列的工程灾害问题，其中最为显著的就是地面变形问题。在这一领域，随机介质理论法和 Peck 法是 2 种应用较广的地层位移预测方法。随机介质理论是波兰学者 J.Litwiniszyn 于 20 世纪 50 年代提出的，经过我国学者阳军生和刘宝琛[1，2]的进一步发展和完善，该理论与经典的 Peck 法一起成为目前国内工程中应用广泛的 2 种简便的实用方法之一。
在应用 Peck 法和随机介质理论法时，很多文献都指出，用随机介质理论得到的沉降分布形态和Peck 法获得的结果相似，也有报道认为随机介质理论得到的结果也符合高斯分布函数，即与 Peck 法具有相同的形式[3，4]。上述都是基于工程实践得到的认识。随机介质理论法来源于矿业工程，在我国被引入到城市土中地铁隧道引起的地层位移预测则是最近几年的事，因此在具体的工程应用中还存在很多不明确的地方，特别是对其中的关键参数的取值还没有成熟的方法。
有鉴于此，本文对这 2 种方法进行全面比较，深入分析随机介质理论法和 Peck 法的关系，并给出随机介质理论法中的关键参数的确定方法。通过上述工作，可大大地增强随机介质理论法的工程实用性。
2 随机介质理论法和 Peck 法的基本原理
2.1 Peck 法
R. B. Peck[5]在大量实测资料分析的基础上，于1969 年在国际土力学大会上提出地表沉降槽的横断面大致遵循正态分布曲线(又称高斯分布曲线)规律，后来又经过很多学者的补充和完善。相应的地层沉降位移预测模型[5～8]为
式中： sm ax为在曲线的对称点处(即隧道中心线的正上方)所发生的最大沉降，i 为从隧道中心线到沉降曲线的拐点处的水平距离。
计算 i 的一个广泛采用的方法是 M. P. O′Reilly和 B. M. New[9]根据伦敦地区使用的工程经验提出的，即认为 i 和隧道轴线埋深 z 0之间存在简单的线性关系：
i = Kz0 (2)
式中：K 为沉降槽宽度系数。
若引入地层损失率 Vl 的概念，式(1)可写为
式中： Vl 为地层损失率，定义为单位长度的地表沉降槽的体积占隧道开挖的名义面积 A 的百分比。
Peck 法的提出使沉降的预测在数学上大大简化。经过 30 多年工程实践验证，已经积累丰富的实际应用经验，被证明是一个有效的预估沉降的方法。目前，Peck 法已经成为一个经典公式，很多其他的经验方法都是在这一方法的基础上进行修正而得来的。
2.2 随机介质理论法
随机介质理论将岩土体视为一种“随机介质”，将开挖岩土体引起的地表下沉视为一个随机过程。从统计观点，可将整个隧道开挖看作无限多个无限小的开挖对上部地层影响的总和。如图 1 所示的一个开挖单元，在不排水、不固结、密度不变化条件下，当开挖单元完全塌落时，上部地层的坐标点( x ，y ，z)的下沉[2](即地表的横向沉降槽)为
式中： r (z)为微单元开挖在深度为 z 的水平面上的主要影响半径，或称为主要影响范围。
根据荷兰学者 S. Knothe[10]提出的采矿工程中的经验，沉陷槽主要影响范围为
r ( z)= z/tanβ (5)
式中： β 为隧道上部围岩的主要影响角。
根据上述定义，对于地面沉降槽( z = z0)，β 的含义如图 2 所示。
将式(4)对预先定义的某种类型的塌陷形式在塌陷面积上进行积分(如图 3 所示)，就可获得该情况下隧道上覆地层的位移：
3 随机介质理论与 Peck 法的关系
在式(3)中， AV l的物理意义就是隧道开挖后的收敛面积(即隧道断面面积的减小)。假定一个微型隧道用微元 dξ dη表示(且完全塌陷)，则收敛的面积应为 d ξdη，将其代替式(3)中的 AVl ，可得
经过式(9)的转换就可得到与 Peck 法完全相同的结果。因此可明确以下结论：对于一个足够小的开挖单元引起的地面沉降，随机介质理论和 Peck法得到的沉降槽分布特点和趋势一致，若二者采用相同的沉降槽宽度，即式(9)成立，则具体沉降计算结果也是一致的。这里所谓的“足够小的开挖单元”，在工程中可理解为：相应于其开挖半径或开挖面积，其埋深足够大。这一结论将在后面进一步用计算结果证明。
经过上述推导分析，可看到 Peck 法可看作是随机介质理论法在埋深较大的小断面隧道的一个近似，即 z 0 /R(R 为隧道开挖半径)足够大的情况。由此也可解释 2 种方法在很多情况下得到的结果也比较近似的原因。而随机介质方法得到的地表沉降曲线则相当于一系列微元开挖引起的地表高斯曲线的叠加，与隧道开挖面的几何性质有关系，因此严格意义上讲一般不符合高斯分布。
综上所述，Peck 法的适用条件应该是埋深大、半径小的隧道开挖。对于浅埋的大断面隧道，其引起的地面变形不可避免地要受到开挖断面形状和隧道收敛具体情况的影响。随机介质理论由于是直接基于隧道开挖前后断面面积上的积分，因此可反映断面形状和隧道收敛情况的影响，因此从理论上来看，要比 Peck 法适用性更广。当然，对于一般城市地铁隧道，以北京为例，埋深 20～30 m，直径φ 4～6 m，能够满足上述 Peck 法的适用条件，因此具有良好的实用效果。
4 随机介质理论法的参数确定
在随机介质理论中，需要确定 2 个关键参数：β和 △ R。而随机介质理论是最近 3～5 a 来刚刚从矿业工程领域引入城市浅埋地铁隧道开挖引起地面变形计算中，因此对相关的计算参数的基本规律和选用还缺乏经验。相对而言，Peck 法在国内外的应用更加广泛，也已经积累很多经验。公式中所应用的2 个关键参数，即沉降槽宽度系数 K 和地层损失系数 Vl，不仅对其影响因素有很多研究成果，且也提出很多行之有效的计算或预测方法，各地还积累一定的经验取值方法。
因此，在明确随机介质理论法和 Peck 法的关系的基础上，进一步讨论 2 种方法的关键计算参数之间的关系，在随机介质理论中引入 Peck 法的相关经验，以便使随机介质理论法的应用进一步符合工程实际。
4.1 主要影响角β
在随机介质理论法中，主要影响角 β 控制计算沉降槽的宽度。这与 Peck 法中的沉降槽宽度系数 K的作用是相同的。因此二者存在理论上的相关关系。
将式(5)代入式(9)，可得
式(10)即为 Peck 法中的沉降槽宽度 i 和随机介质理论法中的主要影响角 β 的关系。以下对其中的沉降槽宽度 i 采用 2 种常用的表达式进行分析，进一步研究。
(1) Knothe 公式
在随机介质理论中，目前采用的 Knothe 公式[10]为
如果将常用的 i = 0. 5z0代入式(10a)，则可得到β =38.66，相当于 Ф=12.68°。具有这样指标的土一般为软弱黏性土。这与“伦敦硬黏土中一般 K 的均值为 0.5 左右”的一般概念明显不符。可见，若按照土的实际内摩擦角? 值代入计算，将得到较小
的 β 角，也会得到较大的影响范围，最终计算得到的沉降槽会过于平缓。
(2) 本文建议方法
采用 i = Kz0，则式(10a)可进一步写为
根据不同土类的 K 的经验值(主要来源于英国)，绘于图 4 中。同时图中还绘出根据目前普遍采用的 Knothe 公式得到的曲线。由图 4 可知，在土中隧道开挖引起的沉降槽宽度的基本规律与 Knothe公式相反，即随着土层内摩擦角的增大，沉降槽宽度减小。这主要是由于 Knothe 公式主要适用于各类岩石，与土作为散体介质的沉陷变形机制不同所致。一个直观的概念是，砂类土的沉降槽相对于硬黏性土来说要窄而深，这是符合工程实际的。采用一个线性关系[11，12]可很好地描述上述数据，即
K =1-0.02Ф (14)
式(15)是根据隧道开挖、土质情况直接得到的影响角的一个初步的经验计算公式，在工程实践中易于应用，且采用加权平均的办法，很容易考虑分层土的情况，是本文建议在工程中采用的方法。
4.2 断面收缩半径△R
随机介质理论方法中的断面收缩半径△R 和Peck法中的地层损失系数Vl在计算中具有相同的作用，均以某种形式反映隧道开挖后断面面积的变化情况，因此二者之间的关系是显而易见的。经过简单的面积计算公式推导，断面收缩半径?R 可方便地与地层损失系数 Vl建立关系[13]，本文不再赘述。
5 算例分析
5.1 2 种方法预测结果的基本规律
为验证上述分析结果，分别采用随机介质法和Peck 法计算不同埋深的圆形隧道的地面沉降情况。隧道半径为 3 m，半径收缩 0.1 m，影响角 50°。换算 Peck 参数为地层损失系数 6.56%，沉降槽宽度系数 0.336。计算结果如图 5，6 所示。
即均匀收敛(考虑隧道断面均匀收缩 △R )和不均匀收敛(隧道断面收敛变形不均匀，即拱顶收缩 2 △R，隧道底部不产生引起地面变形的收敛)。显然后者应该更加接近实际情况[13，14]。
当隧道埋深较大时(例如 z0/R＞6)，Peck 法和随机介质理论方法所计算的结果差别不大。如图 5(b)所示；而当隧道埋深较浅时(如 z0/R＜2)，Peck 法计算结果明显有较大的误差。
当隧道相对埋深 z0/R＞4，Peck 法计算得到的最大沉降(即隧道中心沉降)均介于均匀收敛与不均匀收敛的随机介质理论计算结果之间，且误差为 4%～10%；而当 z0/R＜4，则 Peck 法计算结果明显大于随机介质理论的计算结果，且计算结果的差异迅速增大(见图6)。这也说明对于 Peck 理论方法而言，浅埋隧道预测误差很大，特别是中心点沉降偏大较多。
5.2 实例分析
本文借用阳军生和刘宝琛[2]中所采用的算例，按照其通过反分析得到的随机介质理论法的参数tan β 和△R ，反算得到其 Peck 法沉降槽宽度系数 K和地层损失系数 Vl ，如表 1 所示。
表1中还给出根据Knothe公式计算得到的地层的内摩擦角Ф，可看到反算得到的内摩擦角Ф 过小，在约一半的工程中甚至小于 0，这再次证明 Knothe公式在土中隧道是不适用的。表中还给出用本文建议的式(15)得到的内摩擦角Ф。为对本文建议公式进行验证，对上表中原文献中给出内摩擦角(Ф或? Ф′)和建议公式计算的内摩擦角进行对比，见表 2。其中部分工程给出Ф′，虽然力学意义不同而不能直接比较，但是同时列出供参考。从表 2 可出，二者基本一致。由于很多原始文献都没有给出地层的内摩擦角值，因此未能一一进行对比。但是从数值来看，除个别工程外(例如加拿大 Thunder Bay 隧道工程)，基本趋势是合理的。
6 随机介质理论相对于 Peck 法的优势
目前，传统的地层损失法(以 Peck 法为典型代表)仅仅用一个地层损失系数代表隧道开挖的作用，而不考虑隧道施工方法、截面形式及由此而带来的隧道收敛变形情况的不同。实际上，如前所述，地层位移的具体情况不仅与地层的损失系数有关，还与隧道施工方法、截面形式、土的性质等因素有关。因此，也需要有一种更为合理的方法来考虑上述各种因素，使地层位移预测结果更为接近实际。随机介质理论为计算隧道开挖引起的地层位移和地表沉降提供另一个可行的途径。相对于 Peck 法，其优势在于：
(1) 随机介质方法可考虑各种隧道截面形状对地层位移的影响。
(2) 随机介质方法可考虑隧道变形模式对地层位移的影响，由此可在一定程度上考虑施工方法的作用。
但是，随机介质理论法需要编制程序进行积分计算，这就使其应用不如 Peck 法那样简便直接，会对其广泛应用有一定的影响。当然，如前所述，对于大多数目前城市地铁开挖的具体情况，隧道直径不大，埋深一般也均在 20 m 左右或以上，因此符合 Peck 法的适用条件，仍可采用这种简单而有效的方法。
7 结 论
(1) 深入分析讨论了随机介质理论方法和 Peck法的关系。发现 Peck 法实际上是随机介质理论方法在深埋小断面隧道( z0 /R＞5)情况下的一个近似方法。对于浅埋较大的断面隧道，应该采用随机介质理论方法，才能得到较为准确的结果。同时，也由此解释 Peck 法在某些情况下与实测结果不吻合的原因。
(2) 基于 Peck 法的研究成果，对随机介质理论中的计算参数进行讨论，认为目前影响角的取值按照现有的公式是不符合实际的，会得出较为平缓的变形曲线。因此在基于现有资料的基础上，给出工程实用的建议方法，该方法证明基本符合实际。
(3) 不论是随机介质理论法还是经典的 Peck法，都是简化经验法或半理论法。基于实践的总结，不断提高对 2 种方法中各个计算参数的应用经验，可为工程提供一种非常简单实用的初步估算方法。但是，这 2 种方法都在理论上存在明显的局限性，例如无法考虑实际的应力场对变形的影响、无法考虑土的变形特性、强度特性等。
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