变化率思想：高中开设微积分课程的价值

摘要：高中开设微积分课程具有多方面价值需要，变化率思想是高中微积分课程价值的核心。高中新课程中的微积分设计实现了微积分课程价值的回归，这在边际成本等知识的教学实践中得到显著的反应。实现微积分课程价值的回归，需要教师课程观的转变和知识结构的完善。

关键词：变化率思想；微积分；价值

教育是为了使人获得理性的自主能力，“使人更自由，更有创造力。”^{［1］（177）}为此，学校教育过程中的课程知识要突出其核心价值。从一般意义上讲，“知识的价值在于作为思考的焦点激发各种水平的理解，而不是作为固定的信息让人们接受。”^{［1］（177）}课程内容尤其是作为以思想材料为主要研究对象的数学知识，更应如此。《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）^［2］比过去的高中数学教学大纲，在微积分的课程设计方面发生了重大变革，逾越了形式化极限概念的学习。在对这一重要变化的实验研究过程中我们发现，《标准》中的微积分课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握，使传统微积分课程中缺失的价值得以回归。实验是在山东省聊城某高中进行的。我们让尚未学习微积分的A班级（63人）和已经按传统课程学习了微积分的B班级（59人）都分别按《标准》讲授“导数及其应用”，进行课堂观察，然后在学生中分别进行问卷调查，对授课教师及其他有讲授微积分经历的教师进行访谈。调查问卷分A、B两种，A班用A卷，B班用B卷；B卷相对A卷更侧重于对新旧两种微积分课程设计的比较。在实验中，发出问卷122分，收回122份，且全部有效；被访谈的10名教师，也都根据访谈提纲阐述了自己的观点。

一、开设微积分课程具有多层面的价值需求

“紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继Euclid几何之后，全部数学中的一个最大的创造。”^［3］早在18世纪中叶，许多数学家就认为，“自然科学上的任何问题，只要做到从数学上来理解，也就是说，找到它的正确的数学描述，就可以借助于解析几何学与微积分学而获得解决。”^［4］时至今日，不仅自然科学如此，就是人文社会科学的许多问题尤其是经济学、管理学方面的许多问题也是如此。对学生学习微积分的思想和方法，掌握解决变量问题的基本工具，并为高中生将来进一步学习数学和其他科学奠定基础，是人们基本认同的高中开设微积分课程的核心价值所在。实验中，我们还发现了高中开设微积分课程的另一重要价值，即大众文化的需求。524%的学生在问卷中反映，他们在学习微积分以前就已经对微积分有所耳闻或简单了解，具体途径有：报刊，数学、物理等学科的老师介绍，他人的言谈，网络，等等。从而这些学生对微积分有一种潜在的好奇心，有学习微积分的心理趋向。他们希望通过学习数学亲自感受微积分是什么、有何用，有的甚至想了解到底是什么驱使数学家创立了微积分。据被访教师反映，过去当教师（出于高考原因）宣布高中阶段不再讲授积分时许多学生深表遗憾。事实上，微积分的确具有很高的知名度，甚至可以说是最著名的现代数学名词。我们在保安、电梯工、理发师等社会人群中做了随机调查：“你听说过微积分吗？”“你知道它属于哪门学科吗？”结果读过高中者（包括“文革”期间的高中生）全部知道微积分这一名词，并且知道微积分属于数学学科。大约近50%没有上过高中的人表示听说过微积分这一名词，认为微积分应属于数学或物理。

另外，微积分的数学文化含量是非常厚重的，也是《标准》所强调的。学生反映，他们通过学习微积分进一步懂得了数学发展与社会发展之间的密切关系，看到了数学的广泛应用性，更深刻地感受到了牛顿和莱布尼茨等人的历史贡献和科学精神。授课教师专门强调到，他们二人的贡献就是面对前人的浩翰工作，敏锐地从纷乱的猜测、不成熟描述中，抽取出合理的、有价值的“碎片”，再靠自己的勇气和想象力把这些“碎片”拼接成美丽的数学体系。当然，这些工作都是建立在知识积淀和独立思想基础上的，有关牛顿学习和研究的众多感人的故事就是很好的诠释。

二、高中微积分课程的核心价值是变化率思想

高中微积分课程教育价值的核心体现在哪里？怎样设计？传统高中微积分课程设计的链条是：“数列—数列极限—函数极限—函数连续—导数—微分—导数的应用—不定积分—定积分”。这种设计的逻辑结构非常严密，实际上是高等数学微积分课程设计的“缩编”或者简单的下放。这种设计能反映高中开设微积分课程的核心价值吗？《普通高中课程改革方案（实验）》指出：“普通高中教育是在九年义务教育基础上进一步提高国民素质、面向大众的基础教育。”鉴于此，《标准》明确强调高中数学课程要“强调本质，注意适度形式化”，“注重提高学生的数学思维能力”，“发展学生的数学应用意识”。所以，作为“下放”的内容，高中微积分课程更要注重知识发生、发展的过程。导数是微积分的核心概念，理解导数概念的实质、把握导数概念的生成所反映的思想和方法，是学习微积分的重中之重，从导数概念的发生、发展来看，变化率则是导数思想方法的核心，亦即中学开设微积分课程价值的核心。事实上在实验教学中，变化率的教学成为激发学生思维、建立导数概念的“焦点”。

“变化率”是抽象概念，属策略性知识范畴。根据《标准》设计要求，导数概念的学习主要是靠学生在已有的平均变化率知识基础上的建构。在实验中，86%的B班学生反映，过去学习导数的主要任务是“套公式，做题”，其中求导数题目、考察函数性质题目是主体；对于导数概念的理解却仅限于对定义的“死记硬背”，即使记不住、不理解也无所谓，因为高考一般只考根据公式求具体函数的导数。结果，B班仍有13.5%的学生把导数理解为“某个区间上的平均变化率”；37.2%的学生认为导数“太抽象，不易理解”。在访谈时，教师也坦言过去讲导数重在计算和推理。因此，在微积分教学时课堂气氛比较沉默，学生主动探究较少。

然而，实验告诉我们，“正如牛顿所做的那样，理解导数之本质的最好方法是考虑速度。”^{［5］（125）}按《标准》围绕速度进行导数教学，学生迎头就是思维冲突，不自觉地便进入了探究过程。

首先，学生已经从物理学得知自由落体是匀加速运动，其位移是s(t)=，瞬时速度为：v(t)=gt，那么物体下落2秒时的瞬时速度为2g。换个角度从平均速度进行逼进也可获得此结论。教师让学生观察不同时间间隔上的平均速度：［1，2］上的平均速度是，依此类推，[，2]上的平均速度是，[，2]上的平均速度是[，2]上的速度是，…，[2-，2]上的平均速度是2-g。显然，当时间间隔越来越小时，平均速度也就越来越接近2秒时的瞬时速度──2g。

在实验中对这一过程A、B班学生都比较容易接受。但是，一般的非匀速运动是不会这么有规律的，那么它的瞬时速度怎么求出呢？

教师给出学生一个具体的问题情景：一学生百米撞线时的速度是多少？在A班，学生1：“不知道加速度”；学生2问到：“是匀加速吗？”……大家议论的结果：“不是匀加速”。在教师的启发鼓励下，学生3试探到：“用第10秒的平均速度近似代替。”教师认为可以考虑，并问到：“怎样更精确呢？”数个学生举手，其中学生4答到：“取的时间间隔越小越精确。”至此，教师将事先具体测得的一系列相关数据提供给学生，学生经过讨论便得出了这个学生撞线时的瞬时速度，认同了瞬时速度的具体存在。接下来，教师又将这一认知过程迁移到平均变化率，再到变化率，认识导数从而也就水到渠成了。B班的课堂气氛也很热烈，几次出现传统课堂上很少见到的学生与教师激烈争论的场面。

至此，不系统讲授数列的极限、函数的极限与连续，学生同样也能建立导数的概念，而且是在相对积极的探究过程中建立起来的导数概念，是在解决认知冲突的矛盾中逐渐形成的概念。一方面，瞬时速度是一个变量，而且每时每刻都在变，不能像计算平均速度那样直接用运动时间去除以位移，因为在给定的瞬时移动的距离和所用的时间都是0，而是无意义的。另一方面，每一个学生都承认瞬时速度的客观存在。《标准》的妙处就在于让学生通过观察一系列平均速度的逼进变化形成思维的嬗变，升华出瞬时速度的概念，理解变化率思想。可以说，学生在最近发展区内通过已有的知识框架建构出了新的知识──导数概念。事实上，这也正是当初微积分产生时的朴素思想和基本过程。后来，经过几代数学家不懈的努力，才使极限、连续等概念用于微积分的基础，从而使微积分成为由一系列概念和逻辑结构构成的“全部数学中最微妙的学科”。^{［5］（124）}事实上，在1872年，外尔斯特拉斯那个著名的“处处连续却无处可导”的例子曾让世人惊讶。“如果让牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”^{［5］（175）}的确，严谨的思想有时可以阻碍创造；那么，过于严谨的课程设计同样可以丧失课程激发学生创造的价值。因此，对高中的微积分课程来说，我们何必去为了并不“自然”的严密去淡化本质的东西呢？

三、课程价值的实现需要教师课程观的转变和知识结构的完善

“就一般而言，采用新的课程，对教师来说，意味着要放弃原来熟悉的一套方法和程序，而且有些曾是很成功的做法。所以，西方有的学者甚至认为：‘课程实施最大的障碍就是教师的惰性。’”^［6］当然，这里的惰性主要指惯性。数学课程是相对比较稳定的课程，尤其对于微积分来说更是如此。当前的高中教师在微积分教学方面已经具有一套成熟的策略，可以说已成为“习惯做法”。在访谈中发现教师普遍有一种倾向，即认为传统课程设计下的微积分学生能学会，尤其是［δ］中的极限概念仅局限于｜an-a｜和｜f(x)-a｜描述，认知难度不大，所以，传统的微积分课程设计没必要改革。新课程中的极限设计定位于直观认知，活动建构，教师虽总感觉微积分课程设计链条不够系统和严密，但实验证明学生却是非常易于接受。长期的教学惯性使教师默认了微积分课程的浅层价值的唯一性，把逻辑推理和计算作为学习微积分的终极目标，忽略了微积分思想方法层面的价值，影响了课程核心目标的实现。课程的评价不应简单地停留在认知上，关键在于考察是否实现了课程的核心价值。不能将瞬时速度、变化率与导数建立起本质联系，仅仅记住了导数的形式上的定义，怎能说是理解和掌握了导数概念呢？不能正确理解边际概念的现实含义，又怎能说是掌握了微积分的思想和方法呢？功利性的课程实施尤其是应试教育下的课程实施，常常让人产生错觉──学生似乎得到了很多。实际上，学生个体发展与社会发展的共同实践却证明这样的课程让学生也失去了很多，而且失去的常常是不易弥补的更具价值的东西。总之，教师的教学观念和教学行为在客观上制约着微积分教育价值的回归。因此，实施新课程首先要转变教师的课程观，教师不仅要让学生知道结果，而且要懂得结果的产生过程、结果的意义，感悟数学的精神、思想和方法。树立新的数学课程观是解决教师讲授新课程感觉“别扭”的关键，也是树立学生良好学习观的基础。

高中新课程对教师不仅是观念的挑战，也是学科知识的挑战，这是被包括一些课程专家在内的人所忽视的客观存在。应该说A、B两班授课教师对微积分教学都比较有经验，解释也算直观，但一旦遇到涉及实际应用的导数问题，如边际成本、边际效益问题就很难说得直观了。为什么就不能用通俗的语言“掀起盖在微积分头上的面纱”呢？

若，则意味着当h很小时，；实际上，在几个小时的行程中，1秒就是很小的时间间隔；在成百万的批量生产或销售中，一个产品微乎其微……时间间隔非常短时的平均变化率可以作为导数的近似值，反之导数也可以是间隔很小时平均变化率的近似值。微积分所讨论的就是这种非常小局部情况下的近似。经过访谈我们得出了问题的答案：传统微积分课程设计与实施造成了教师有关微积分知识结构的先天不足。教师先前所学与所教的导数概念是追求严格形式化的，教师所掌握的导数应用也主要局限于考察函数的性质。他们所得到微积分概念都是现成的定义，他们心目中的微积分与现实生活没有关系。另外，对数学确定性及形式化的相对理解，也是教师普遍缺乏的素养。所以当教师一旦遇到边际成本等应用问题、涉及微积分的思想本质时，就显得“力不从心”了。

参考文献：

［1］施良方.课程理论──课程的基础、原理与问题［M］.北京：教育科学出版社，1996.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

［3］M.Kline，古今数学思想（第二册）［M］.张理京，等，译.上海：上海科技出版社，2002.49.

［4］A.D.亚历山大洛夫.数学：它的内容，方法和意义［M］.秦元勋，等，译.北京：科学出版社，2001.87.

［5］M.Kline.数学：确定性的丧失［M］.李宏魁，译.长沙：湖南科学技术出版社，2001.

［6］人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本）［Z］.北京：人民教育出版社，2001.