“糖水不等式”及其应用

摘要 本文首先挖掘了“糖水不等式”的生活原型，接着详细介绍了此不等式的三种证明方法，最后用“糖水不等式”证明了三道高考题。通过本文重在启发大家：在以后学习中，不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、发展的背景、及其应用，以达到举一反三、融会贯通的目的；从而的出思考与反思史学系的必要环节。
关键词 糖水不等式
我们在小学曾对不等式[SX(]1 2[SX)]＜[SX(]2 3[SX)]＜[SX(]3 4[SX)]＜[SX(]4 5[SX)]＜…记忆犹新，今天学到了高中数学不等式这一章，我们联想到这一不等式能不能推广？推广形式如何？下面就是它的推广形式：“若a，b，m∈R+，且a＜b，求证：[SX（]a b[SX)]＜[SX(]a+m b+m[SX)]（*）。”
上述不等式在高中数学人教版必修5第87页的例1中出现，并做了严谨证明。相信大家对这一不等式并不陌生。此不等式不仅有着丰富的现实生活背景；而且在比较大小、及证明不等式中都有着重要的作用。
一、不等式（*）的生活原型 
生活原型1：b克糖水中含有a克糖，加入m克糖后糖水变甜，试用一
不等式描述这一现象：[SX(]a b[SX)]＜[SX(]a+m b+m[SX)]＜1
由于此生活原型生动直观的刻划了不等式[SX(]a b[SX)]＜[SX(]a+m b+m[SX)]＜1，所以此不等式又戏称为“糖水不等式”。
生活原型2：建筑民用住宅时，一般情况下，民用住宅的窗户总面积小于该住宅的占地面积。窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好。问同时，增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了还是变差了？
解：设a，b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值，
表示窗户和占地所增加的面积的值，（单位相同），
由题意得：住宅的采光条件变好还是变差，
取决于[SX(]a b[SX)]与[SX(]a+m b+m[SX)]值的大小
作差法：[SX(]a b[SX)]-[SX(]a+m b+m[SX)]=[SX(]ab+am-ba-bm b(b+m)[SX)]=[SX(](a-b)m b(b+m)[SX)]
因为a，b，m＞0，且a＜b，所以[SX（]（a-b)m b(b+m)[SX)]＜0
所以[SX(]a b[SX)]＜[SX(]a+m b+m[SX)]
故增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了。
二、“糖水不等式”的证明 
此题的证明方法很多，例如（1）作差法（2）作商法（3）分析法（4）综合法（5）构造函数法（6）定比分点公式法等等。
在这里有重点地介绍以下三种方法：
证法1：分析法：要证[SX(]a b[SX)]＜[SX(]a+m b+m[SX)]
只要证a(b+m)＜b(a+m)，
即证am＜bm，(m＞0)
而a＜b显然成立
证法２：构造函数法：f(x)=[SX(]a+x b+x[SX)]=[SX(]b+x-b+a b+x[SX)]=1+[SX(]a-b b+x[SX)]
因为a-b＜0，所以函数f(x)在(-b，+∞)上单调增
故f(0)＜f(m)，即[SX(]a b[SX)]＜[SX(]a+m b+m[SX)]
证法3：（利用定比分点公式法）
〖TPP0707.TIF，BP〗
[SX(]a+m b+m[SX)]=[SX(C][SX(]a m[SX)]+1 1+[SX(]b m[SX)][SX)]=[SX(C]1+[SX(]b m[SX)]·[SX(]a b[SX)] 1+[SX(]b m[SX)][SX)]，令λ=[SX(]b m[SX)]＞0，x1=1，x2=[SX(]a b[SX)]
由定比分点公式得[SX(]a b[SX)]＜[SX(]a+m b+m[SX)]＜1。结论得证。
三、“糖水不等式”在比较大小、及证明不等中的应用 
例１（１）若a，b，m∈R+，且a＜b，则[SX（]a b[SX)]，[SX(]a+m b+m[SX)][SX(]b a[SX)]，[SX(]b+m a+m[SX)]从小到大的顺序为[CD#4]
解：由“糖水不等式”得：[SX(]a b[SX)]＜[SX(]a+m b+m[SX)]＜1，而[SX(]b+m a+m[SX)]＞1
故[ZZ(Z][SX(]a b[SX)]＜[SX(]a+m b+m[SX)]＜[SX(]b+m a+m[SX)][ZZ)] 免费论文下载中心
（２）若a，b，m，c，d∈R+，且[SX（]a b[SX)]＜[SX(]c d[SX)]，则[SX（]a b[SX)]，[SX(]a+c b+d[SX)][SX(]c d[SX)]从小到大的顺序为[CD#4]
解：设糖水1和2的浓度分别为[SX(]a b[SX)]＜[SX(]c d[SX)]，将两种糖水混合的浓度为[SX(]a+c b+d[SX)]
由生活原型1得：[ZZ(Z][SX(]a b[SX)]＜[SX(]a+c b+d[SX)]＜[SX(]c d[SX)][ZZ)]
例２中，△ABC中，A，B，C对的边分别为a，b，c．求证：[SX(]a a+m[SX)]+[SX(]b b+m[SX)]＞[SX(]c c+m[SX)]证明：
因为a，b，c＞0，c＜a+b，
所以[SX(]c c+m[SX)]＜[SX(]a+b a+b+m[SX)]=[SX(]a a+b+m[SX)]+[SX(]b a+b+m[SX)]
＜[SX(]a a+m[SX)]+[SX(]b b+m[SX)]
故[SX(]c c+m[SX)]＜[SX(]a a+m[SX)]+[SX(]b b+m[SX)]
例３ 已知数列{an}是由正数组成的等比数列，前n项和Sn
求证：[SX(]1 2[SX)](1gSn+1gSn+2)＜1gSn+1（’95全国理科高考25题）
证明：〖WB〗[SX(]1 2[SX)](1gSn+1gSn+2)＜1gSn+1
〖DW〗SnSn+2＜Sn+12
因为Sn+1[WB]=a1+a2+…+an+an+1
[DW]=a1+q(a1+a2+…+an)
[DW]=a1+qSn
同理Sn+2=a1+qSn+1，Sn＜Sn+1
由结论（*）得[SX(]qSn qSn+1[SX)]＜[SX(]qSn+a1 qSn+1+a1[SX)]
即[SX(]Sn Sn+1[SX)]＜[SX(]Sn+1 Sn+2[SX)]
即SnSn+2＜Sn+12
所以[SX(]1 2[SX)](1gSn+1gSn+2)＜1gSn+1
例4求证：[SX(]2 1[SX)]·[SX(]4 3[SX)]·[SX(]6 5[SX)]…[SX(]2n 2n-1[SX)]＞[KF(]2n+1[KF)]（’98年高考文25题）
证明：由结论（*）得[SX(]2n-1 2n[SX)]＜[SX(](2n-1)+1 2n+1[SX)]
即[SX(]2n 2n-1[SX)]＞[SX(]2n+1 2n[SX)]
所以([SX(]2 1[SX)]·[SX（]4 3[SX）]·[SX（]6 5[SX）]…[SX（]2n 2n-1[SX)])2
＞([SX(]2 1[SX)]·[SX（]4 3[SX）]·[SX（]6 5[SX）]…[SX（]2n 2n-1[SX)])·（[SX（]3 2[SX）]·[SX（]5 4[SX）]·[SX（]7 6[SX）]…[SX（]2n+1 2n[SX)]
=2n+1
所以[SX(]2 1[SX)]·[SX（]4 3[SX）]·[SX（]6 5[SX）]…[SX（]2n 2n-1[SX)]＞[KF（]2n+1[KF)]
例6已知，i，m，n∈N+，1＜i≤m＜n，
证明：niPim＜mipin（’2001高考理20题）
证明：[SX(]nipim mipin[SX)]=[JB((][SX(]n m[SX)][JB))]i·[SX(]m(m-1)…(m-i+1) n(n-1)…（n-i+1)[SX)]（**）
由结论（*）得[SX(]m-k n-k[SX)]＜[SX(]m n[SX)]，(k＜m)
所以式（**）＜[JB((][SX(]n m[SX)][JB))]i[JB((][SX(]m n[SX)][JB))]i=1
所以nipim＜mipin
通过以上例题分析，大家可以深刻体会到：利用“糖水不等式”比较大小，不仅直观、简便，而且使我们对问题理解的更深刻、甚至难以忘记。尤其在证明三道高考题（95年、98年、2001年）时，“糖水不等式”的作用显得光彩夺目、熠熠生辉，甚至难以释怀。这就启发我们在以后学习一些重要知识时:不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、发展的背景、及其应用，以达到举一反三、融会贯通的目的，使我们的学习如鱼得水。 免费论文下载中心