关于椭圆环刚体转动惯量的求解

【摘要】 运用转动惯量定义计算出椭圆环刚体绕长轴和短轴的转动惯量，然后用正交轴定理计算椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴的转动惯量。

【关键词】 椭圆环； 转动惯量； 椭圆积分； 正交轴定理

　　文献［1］是对圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴旋转的转动惯量进行了计算，那么椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴旋转的转动惯量是怎样的？1 椭圆环绕长轴和短轴的转动惯量 　　质量为m均匀分布的椭圆环刚体如图1，线质量密度为λ，现建立直角坐标系Oxyz，Oz轴垂直于椭圆环面指向外，由文献［2］知，其椭圆参数方程为 x=acosθ

　　y=bsinθ

　　图1（略）

　　令θ=π/2-φ ，代入上式有
　　
　　x=acosθ

　　y=bsinθ(1)

　　a为长半轴，b为短半轴，那么
　　
　　dx=acosφdφ

　　dy=-bsinφdφ

　　椭圆偏心率 k=a2-b2/a

　　由于对称性，椭圆周长为：
　　
　　L=dL=(dx)2+(dy)2

　　=4∫π/20a2cos2φ+b2sin2φdφ

　　=4a∫π/201-k2sin2φdφ=4aE(k)

　　式中
　　
　　E(k)=∫π/201-k2sin2φdφ(2)

　　为第二类全椭圆积分.则椭圆环质量线密度为：
　　
　　λ=dm/dL=m/L=m/4aE(k)(3)

　　1.1 计算椭圆环绕长轴的转动惯量
　　
　　由转动惯量定义和如图1中P处质量元知，椭圆环绕长轴(Ox轴)的转动惯量
　　
　　Ix=y2dm=b2cos2φλdL

　　=4λab2∫π/20cos2φ1-k2sin2φdφ

　　=4λab2 (4)
　　
　　∫π/201-sin2φ 1-k2sin2φd(sinφ)

　　=4λab2∫101-u2 1-k2u2du

　　式(4)中令u=sinφ 代入积分项，该项写为
　　
　　∫101-u2 1-k2u2du=∫10(1-u2)1-k2u2 1-u2du

　　=∫101-k2u2 1-u2du-∫10u21-k2u2 1-u2du

　　=∫π/201-k2sin2φdφ+∫101-k2u2k( 1-u2)

　　=E(K)+［u1-k2u2· 1-u2］10-∫10［1-u2(1-k2u2-k2u21-k2u2)］du (5)

　　式(5)中第一项积分式为第二类全椭圆积分，整理中用了分部积分法，则上式可写为:
　　
　　∫101-u2 1-k2u2du

　　=E(k)-∫101-u2 1-k2u2du-∫101-u2(1-k2u2)-11-k2u2du

　　=E(k)-2∫101-u2 1-k2u2du+∫101-u21-k2u2du

　　=E(K)-2∫101-u2 1-k2u2du+∫10(1-u2)1-u2 1-k2u2du

　　=E(k)-2∫101-u2 1-k2u2du+∫1011-u2 1-k2u2du+

　　∫10(1-k2u2)-1k21-u2 1-k2u2du

　　=E(k)-2∫101-u2 1-k2u2du+F(k)+1k2［∫101-k2u2 1-u2du-∫1011-u2 1-k2u2du］

　　=E(k)-2∫101-u2 1-k2u2du+F(k)+1k2E(k)-1k2F(k) (6)

　　式(6)中
　　
　　F(k)=∫1011-u2 1-k2u2du =∫π/20dφ1-k2sin2φ
　　
　　为第一类全椭圆积分。式(6)整理可得出：
　　
　　∫101-u2 1-k2u2du=13k2［(k2+1)E(k)+(k2-1)F(k)］ (7)

　　把式(7)代入式(4)积分项中，得出椭圆环绕长轴的转动惯量为:
　　
　　Ix=mb23k2［(k2+1)+(k2-1)F(k)E(k)］ (8)

　　1.2 计算椭圆环绕短轴的转动惯量
　　
　　同理从图1中可计算出椭圆环绕短轴(Oy轴)的转动惯量
　　
　　Iy=x2dm=a2sim2φλdL

　　=4λa3∫π/20sin2φ1-k2sin2φdφ (9)
　　
　　从式(4)和(7)可知
　　
　　∫π/20cos2φ1-k2sin2φdφ
　　
　　=13k2［(k2+1)E(k)+(k2-1)F(k)］ (10)

　　那么
　　
　　∫π/20sin2φ1-k2sin2φdφ
　　
　　=∫π/201-k2sin2φdφ-∫π/20cos2φ1-k2sin2φdφ
　　
　　=13k2［(2k2+1)E(k)-(k2-1)F(k)］ (11)

　　把式(11)代入式(9)化简得
　　
　　Iy=ma23k2［(2k2+1)-(k2-1)F(k)E(k)］ (12)

　　式(12)为椭圆环绕短轴的转动惯量。

　　2 用垂直正交轴定理计算椭圆环绕中心轴的转动惯量
　　
　　根据文献［3］知垂直正交轴定理，椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴的转动惯量为:
　　
　　Iz=Ix+Iy=mb23k2［(k2+1)+(k2-1)F(k)E(k)］+ma23k2［(2k2+1)-(k2-1)F(k)E(k)］ (13)

　　3 结论
　　
　　① 椭圆环刚体绕长轴的转动惯量为式(8);
　　
　　② 椭圆环刚体绕短轴的转动惯量为式(12);
　　
　　③ 椭圆环刚体绕垂直与环平面且通过中心轴的转动惯量为式(13)。

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参考文献