摘要：本文在分析前人研究成果的基础上，从非恒定挟沙水流沙量平衡入手，建立了冲积河流悬移质泥沙与床沙交换关系表达式，并引入平衡冲淤物粒径的概念，对冲淤物粒径的计算方法进行了系统分析，提出了一整套计算非恒定挟沙水流悬移质泥沙与床沙交换的模式与方法，同时将该方法引用到数学模型中，采用黄河下游典型洪水进行了验证。
关键词：悬移质泥沙 床沙 交换机理 平衡冲淤物粒径
1 引言
悬移质泥沙与床沙交换机理及计算方法，作为河流泥沙动力学的重要问题之一， 长期以来，被许多学者所关注，并取得了卓有成效的进展。该问题的研究，对河道演变分析、河工模型设计、河流泥沙数学模型计算以及河流泥沙动力学学科的发展都颇有意义。
现有方法一般为将悬移质泥沙和床沙分成若干组，通过计算分组挟沙力实现悬沙与床沙的交换，从而求出悬沙与床沙级配的变化规律。其中韩其为是由悬移质级配求分组挟沙力，该方法假定含沙量级配与挟沙力级配相同，且各粒径组泥沙独自保持平衡而不相互影响，在此基础上建立了淤积和冲刷两种情况的级配计算公式[1]，但在计算过程中出现与实际河流冲淤不相符合的情况，如河床发生冲刷时，各粒径组的泥沙均发生冲刷，而淤积时各粒径组泥沙均发生淤积。HEC-6模型[2]是以床沙级配求分组挟沙力，其基本思路为：先求每一粒径组泥沙的可能挟沙力，即这一粒径组含沙量占100%的水流挟沙力，而实际挟沙力则是此粒径组泥沙在床沙中所占百分比与上述可能水流挟沙力的乘积，这种方法的前提假定与实际挟沙图形有较大出入。
李义天[3]通过理论分析建立了输沙平衡状态下床沙质级配与床沙级配之间的关系为
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(1) |
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式中Pi， Pbi分别为床沙质与床沙级配；ωi为第i粒径组泥沙沉速；u*为摩阻流速；κ为卡门常数；m为粒径分组数；σv为垂向紊动强度，原作者取σv=u*。在已知床沙级配的条件下，根据式(1)计算出悬沙中床沙质级配后，再由全沙挟沙力乘以挟沙力级配Pi即可得出分组挟沙力，进一步采用非饱和输沙模型计算河段内的冲淤，尔后根据冲淤结果调整床沙级配作为下一时段的计算依据。
钱意颖、曲少军、张启卫、韦直林[4]提出的分组挟沙力计算方法在数学模型计算中也颇有应用价值。但应该承认，水沙运行过程中，各粒径组泥沙是相互影响的，人为地分组后分别计算显然与实际出入较大。特别象黄河这样的多沙细沙河流，细颗粒泥沙对水流流变特性及挟沙特性影响尤为显著。此外，现有通过计算分组挟沙力来确定泥沙级配的方法多应用于恒定流模型，而天然河流一般为非恒定流，泥沙级配不仅沿程变化，而且还随时间变化，故此进一步研究悬沙与床沙交换机理有重要意义。
2 冲积河流床沙与悬沙交换模式及计算方法初步研究
2.1悬沙与床沙交换过程中悬沙粒径变化规律研究
如图1所示，取1-2之间的δx微段，Q为流量；S为含沙量；A为过水面积；Ψ(d)为悬移质泥沙粒径分布函数；δt为时间微段；ρ′为冲淤物干容重；A0为横断面淤积面积；Ψc(d)为冲淤物粒径分布函数；qL 、SL、ΨL(d)分别为侧向入流单宽流量、含沙量、入流悬沙粒径分布函数。则δt时段内，δx河段上di的净流入量P1为
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(3) |
微段δx的水体沙量增加中粒径为di的泥沙所占的量P2为
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侧向入流与冲淤使di的增加量P3为
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(5) |
由质量守恒原理，则P1+P3=P2，将式(3)～(5)代入，两边除以δxδt，并忽略微小量，整理得
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(6) |
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式(6)两边乘以di，并对d积分后化简，同时将悬沙平均粒径、冲淤物平均粒径、侧向入流泥沙平均粒径代入可得 |
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(7) |
根据多元函数求导法则将上式展开，并代入泥沙连续方程，进一步化简得
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(8) |
采用式(7)或式(8)即可计算任一时刻任一断面的悬沙平均粒径大小。
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对式(6)两边乘以\$d2i\$，积分后并取悬沙粒径二阶圆心距；冲淤物粒径二阶圆心距；侧向入流泥沙粒径二阶圆心距，则化简可得 |
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(9) |
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或 |
(10) |
求得进口ξd过程后，即可依据式(9)或(10)计算出任一时刻任一段面的悬沙粒径二阶圆心距。
2.2 床沙与悬沙交换过程中床沙粒径变化规律研究
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取单位宽度的断面，设δt时段床沙交换层厚度为Hc；河床高程为Z；床沙粒径分布函数为Ψ(Di)；床沙平均粒径为Dcp。则对于Di的泥沙含量，瞬初x1=HcΨ(Di);瞬末；冲淤部分。由质量守恒知x2-x1=x3，同时等号两边同除以δt，可化简为 |
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(11) |
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式两边乘以Di并对D积分得上 |
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(12) |
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根据多元函数求导法则把式(12)展开，并将代入，可得 |
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(13) |
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采用式(13)即可计算出床沙粒径变化过程。同时，对式(11)两边乘以，并对D积分可导得 |
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(14) |
式中ξD为床沙粒径二阶圆心距。采用式(14)即可计算出床沙粒径二阶圆心距的变化过程。
转贴于2.3 冲淤物粒径dc的确定
天然冲积性河流的悬移质泥沙与床沙交换的过程中，当河床冲刷时，悬沙中较粗颗粒仍会落淤下来，而河道淤积时，床面上也有部分细颗粒由床面被水流冲起，当冲淤平衡时，也存在部分悬沙与床沙不停地进行着交换，只是落淤的悬沙与冲起的床沙的质量与粒径大小相等。由式(8)、(13)可知，推求悬沙与床沙的变化规律集中反映在冲淤物平均粒径dc的确定上。天然河流的悬沙一般较床沙为细，dc应介于Dcp与dcp之间。当冲淤平衡时，冲淤物平均粒径可定义为平衡冲淤物粒径，采用dph表示。
2.3.1 淤积时dc的计算方法
进一步分析可知，河床发生淤积时，dc应介于dcp与dph之间。当淤积强度较小时，dc接近于dph，当淤积强度较大时，dc接近于dcp，于是可初步确定dc的如下关系式
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dc=mdcp+(1-m)dph |
(15) |
式中m为介于0～1之间的权重系数，其取值大小应与相对淤积强度有关。若令初始单位面积柱体中水体的含沙量为S，水深为h，则水体中含有的泥沙总量为hS；河床淤积后，落淤在河床上泥沙的厚度为Δz，则淤积泥沙质量为Δzρ′。于是可将m表示为如下关系式
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m=(Δzρ′/hS)k |
(16) |
式中k为指数。进一步可求出淤积后水体中剩余部分泥沙的平均粒径为
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d′=(hSdcp-Δzρ′dc)/(hS-Δzρ′) |
(17) |
在含沙量不太高的情况下，悬沙淤积时分选作用较明显，当Δzρ′→hS时，应有d′→0，于是将式(15)、(16)代入式(17)后，并求极限，即可导出k与dcp及dph的关系式
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k=dcp/(dph-dcp) |
(18) |
将式(16)、(18)代入式(15)，即可得出淤积时dc的计算公式
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(19) |
2.3.2 冲刷时dc的计算方法
对于河床冲刷情况而言，dc应介于dph与床沙平均粒径Dcp之间。冲刷强度较小时，dc接近于dph，当河床发生强烈冲刷时，dc接近于Dcp。采用上述类似的方法，可确定dc的计算式为
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dc=m′Dcp+(1-m)dph |
(20) |
式中m′为介于0～1之间的系数，其取值大小与相对冲刷强度有关。
若将床沙混合层分为两层，上层为床沙与水流直接接触分选层，定义为直接交换层，下层为分选后的床沙通过沙波运动进行床沙调整层。则对于单位面积的河床而言，令冲刷时床面的直接交换层厚度为H′c，冲刷厚度为Δz，可把m′表示为
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m′=(Δz/H′c)k′ |
(21) |
式中k′为指数。于是可计算出冲刷后直接交换层内剩余部分床沙的粒径
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D′=(H′cDcp-Δzdc)/(H′c-Δz) |
(22) |
当河床发生强烈冲刷时，Δz→H′c，则D′应接近于床沙组成中的极粗部分床沙粒径D″。于是将式(20)、(21)代入式(22)并对其求极限可求得k′的表达式为
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k′=(D″-Dcp)/(Dcp-dph) |
(23) |
将式(21)、(23)代入式(20)得
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(24) |
若采用此时水流条件求出的泥沙扬动粒径为df，则强烈冲刷剩余部分床沙组成中泥沙粒径应均大于df，这样D″可由初始床沙级配曲线反求得出。
2.3.3 dph的确定
目前尚无dph的实测资料，且其影响因素极为复杂，故dph的确定十分困难。由上述分析可知，dph应介于dcp与Dcp之间，为简单起见，不仿采用类似dc的方法来提出dph的如下表达式
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dph=(1-k1)dcp+k1Dcp |
(25) |
上式中的k1为介于0～1之间的权重系数。经分析发现，k1的取值大小和dcp与Dcp的比值有关。当Dcp≥dcp时，dph的大蝎只取决于dcp，而与Dcp无关。为此，可初步假定k1与dcp/Dcp成正比，即
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k1=k2·(dcp/Dcp) |
(26) |
系数k2的取值区域为[0，1]，经数学模型初步计算调式，可取k2=0.5。将式(26)代入式(25)可得
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dph=1.5dcp-0.5·(dcp2}/Dcp) |
(27) |
2.3.4 直接交换层厚度H′c确定
通过室内试验观测发现，随着沙波的运移，迎水面冲起的泥沙，一部分沿床面滚动、滑动或跃移，最终又落淤在床面上，而另一部分直接悬浮到水体中形成悬移质。由此可见，伴随沙波运动，床面颗粒在运动中直接受到水流的分选。令沙波波长为L，波高为hs，波速为c，若将沙波纵剖面概化为三角形，δt时段内，沙波中参与运动的床沙厚度为H″c=0.5·hsc·δt/L，当河床冲刷时，若δt取值较小，可认为沙波波形在该时段内不变，则直接参与冲刷交换的床沙厚度即直接交换层厚度可取为H′c=H″c+Δz。
3 床沙与悬沙交换模式及计算方法的验证
将式(8)及式(13)离散后，引用到黄河下游一维扩展的泥沙数学模型中[5]，在求出有关水力泥沙各要素之后，在已知进口悬沙dcp及初始床沙Dcp的条件下，即可求出任一时段、任一断面的dcp与Dcp。本文选用黄河下游1982年大洪水及1977年高含沙洪水，针对铁谢至孙口河段对上述计算方法进行验证，结果绘于图2～4。由图可看出，无论是一般挟沙水流，还是高含沙水流，计算值与实测值较为接近，能够满足精度要求。
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图1悬移质泥沙与床沙交换示意图 |
图2 1982年洪水悬沙平均粒径实测值与计算值的比较 |
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Sketch map for interchange between suspended sediment and bed materials |
Calculated and measured average diameters in 1982 flood |
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???
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同时，将式(10)、(14)离散后，在已知进口悬移质泥沙ξd0与初始床沙ξD0的条件下，同样可求出任一时刻、任一断面的ξd与ξD，再采用悬沙与床沙级配曲线计算公式[5，6]、，即可计算出任一时刻任一断面的悬沙及床沙级配组成。
4 结语
1. 本文从非恒定挟沙水流沙量平衡入手，经理论推导，建立了冲积河流悬移质泥沙与床沙交换关系表达式。
2. 引入平衡冲淤物粒径的概念，分别针对河床处于冲刷和淤积的不同时期，建立了冲淤物粒径的计算表达式，同时还建立了平衡冲淤物粒径与悬沙平均粒径和床沙平均粒径的关系，从而提出了计算非恒定挟沙水流悬移质泥沙与床沙交换的模式与方法。
3. 将该方法引用到数学模型中，采用黄河下游典型洪水进行验证。结果表明，该方法不仅能模拟一般挟沙水流床沙与悬沙的交换过程，而且还能描述高含沙水流床沙与悬沙的交换过程。
参考文献
[1] 韩其为。悬移质不平衡输沙的初步研究。河流泥沙国际学术讨论会集。北京，1980.
[2] Feldman， A.D， Hec Models for Water Resources System Simulation; Theory and Experience， The Hydroulic Engineering Center， Davis， california， 1981.
[3] 谢鉴衡主编。河流模拟。电力出版社，1988.
[4] 钱意颖，曲少军等。黄河泥沙冲淤数学模型。黄河出版社，1998.
[5] 赵连军，张红武，江恩惠等。黄河铁谢至孙口河段洪水演进泥沙数学模型研究。黄河科学研究院科研报告。黄科技第ZH-9808-051号， 1998.
[6] 赵连军，吴香菊，王原。悬移质泥沙级配的计算方法。第十二届全国水动力学研讨会文集。海洋出版社，1998.
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