摘要：利用一维不恒定水流泥沙数学模型，研究泥沙实体模型试验的时间变态问题。针对上游流量和泥沙浓度呈阶梯形变化的边界条件问题，通过比较模型与原型尺度下的水流条件、泥沙浓度、累计淤积面积等各物理量的差异，定量地描述了时间变率、模型长度、水沙的不恒定性等对模型试验可能造成的影响，并对误差产生的原因进行了分析。
关键词：时间变态 实体模型 数学模型 不恒定流
1 概述
泥沙实体模型试验是研究工程泥沙问题的重要手段。长期以来，随着葛洲坝，三峡等大型工程的建设，实体模型试验水平在我国得到了很大的提高，在工程论证中发挥了重要作用。
但实体模型还存在着很多问题，首先是几何比尺的选择，基于水沙运动相似性的要求和场地等条件的限制，常常将水平比尺和垂向比尺设计为不同的数值，这就造成了模型的几何变态；其二是模型沙的选择，在按照几何比尺缩小的模型上，为了满足泥沙运动相似，常常采用轻质沙。到目前为止，利用轻质沙进行的模型试验都不能统一水流运动和河床变形两个时间比尺，存在时间变态。这两种变态的存在，给模型试验带来了误差。分析这两种变态，揭示出产生误差的原因和偏差程度，是提高模型试验技术的重要途径。
对时间变态，当模拟的过程为恒定或基本恒定时，水流和泥沙运动的时间过程可以在相对较短的时间里趋于平稳，时间变态的影响较小。恒定情况下的这一特点正是确定时间变态模型可行的理论基础。然而实际的水沙过程总是变化的，即使人们可以将一个不断变化的过程概化为一系列恒定子过程，由于动态过程的惯性作用，恒定子过程之间总是存在相互影响的。在天然尺度情况下，这些恒定子过程一般可以持续几天或更长，子过程之间相互的影响很小，但是，在模型中由于控制河床变形的时间比尺非常大，这些子过程之间的相互干扰和影响就明显体现出来了。同时，由于水流动态反馈的速度比物质传输速度更快，往往会造成水流过程与泥沙运动过程的错相，形成水流与泥沙运动过程实际上的不相似。
过去，对时间变态问题的认识仅止于定性和局部的描述[1]，近年来，人们试图对时间变态带来的问题进行定量研究。王兆印[2，3]对时间变态对推移质淤积的影响进行了水槽试验，在一个大型水库回水变动区的推移质模型试验中研究了时间变态对冲淤相似性的影响，并用数学模型计算了时间变态引起的水流条件的变化，分析了可能的影响因素并提出了模型试验中可采用的改进措施；吕秀贞[4]，向立云[5]用数学模型计算了几何变态模型中时间变态对水流、泥沙过程的影响；陈稚聪[6]等对时间变态对水流挟沙力的影响进行了试验研究。从前人的研究经验可看出，采用模型试验或水槽实验要受到控制、量测等条件的限制，不可能全面描述时间变态情况下的过程全貌，而数学模型可以很好地描述天然尺度和模型尺度的水流、泥沙运动及泥沙淤积的动态过程，因此，利用数学模型可以定量研究时间变态对模型试验结果的影响，描述各物理量时间和空间分布的差异，为最终解决这一问题提供思路。
2 时间变态的由来
动床河工模型试验的主要目的是模拟河床的变形，但模型试验既要保证水流运动相似，也要保证泥沙运动相似。对占河流输沙总量的绝大部分准则有悬移相似、起动相似、挟沙相似、河床变形相似等[1]。
水流和悬移运动相似要求满足
|
λu=λ=λl1/2 |
(1) |
|
λd=(λl1/2/λ(ρs-ρ)/ρ)1/2 |
(2) |
|
泥沙起动相似要求满足 |
|
|
λu=λuc |
(3) |
|
其中λu，λ，λl，λd，λ(ρs-ρ)/ρ分别为流速比尺，泥沙沉速比尺，模型几何比尺，模型沙粒径比尺及泥沙浮容重比尺，λuc为起动流速比尺。若选用原型沙或密度接近原型沙的材料为模型沙，为满足悬浮相似，模型沙必须磨得极细，才能使得λ=λl\1/2。而过细的模型沙的粘结力作用往往比较显著，起动流速较大，难以满足起动相似的要求。为同时达到悬移及起动相似，须选用轻质沙。此时模型沙密度较小，粒径可粗些，粘结力的作用则会减小甚至不存在，使得起动相似易于满足，同时亦可通过选择粒径满足悬浮相似条件。 |
挟沙相似要求
|
λs=λρs/λ(ρs-ρ)/ρ |
(4) |
河床变形相似要求
|
λtb=λlλρ′/λuλs |
(5) |
而由水流连续相似可得
|
λtf=λl/λu |
(6) |
其中λs，λρs，λρ′分别为泥沙浓度比尺，容重比尺及干容重比尺；λtb为泥沙运动时间比尺，λtf为水流运动时间比尺。则有
|
λtb=λl/λuλρ′/λs=λρ′/λsλtf |
(7) |
同一物理量（时间）出现了两个比尺：河床变形时间比尺λtb及水流连续时间比尺λtf。只有当λρ′\λs=1时，两个时间比尺才会相等。而采用轻质沙后，λρ′\λs通常远大于1，因此，λtb远大于λtf，这就是时间变态。
通常泥沙模型试验主要是研究河床变形问题，故总是把河床变形时间比尺λtb作为模型控制的时间比尺，较大的河床变形时间比尺λtb也使得包括若干年的长系列模型试验成为可能。模型试验中，模型进口施放流量及尾门调节水位是按λtb来进行的，而模型中水流自上而下的运行过程及回水自下而上的发展过程是受λtf控制的。当水流大致为恒定流时，模型中的水力因素基本不因时而变，时间变态造成的影响不明显；但当水流为不恒定流或水流状态改变时，时间变态使得流量、水位过程线受到歪曲，河道槽蓄量不能满足相似要求，泥沙浓度过程不相似，从而导致河床变形的不相似。
一般，模型沙的比重越小，时间变态越严重；水流不恒定性越强、水位变幅越大或模型长度越长时，槽蓄量的歪曲越剧烈，时间变态的影响越大。当各不利因素同时出现，时间变态导致的河床变形误差就可能成为不可忽视的问题。
3 数学模型
数学模型试验以一维不恒定水流泥沙数学模型[7]为基础，数学模型的基本方程如下
水流连续方程
|
|
(8) |
水流运动方程
|
|
(9) |
泥沙连续方程
|
|
(10) |
河床变形方程
|
|
(11) |
水流挟沙力方程
|
S*=S*(U，h，ω) |
(12) |
|
式中if=U2/C2R， ，U断面平均流速，h水深，S断面含沙浓度，S*断面挟沙力，ω泥沙沉速，ρ′泥沙干容重，C谢才系数，R水力半径，βs不恒定修正系数，as恢复饱和系数，Zb河床高程。 |
适用于轻质沙的断面挟沙力公式如下[1]
|
S*=aρsρ/ρs-ρn2g/h1/3U3/ghω |
(13) |
式中a=22.5[5]。
水流连续及运动方程(8)、(9)采用Preissmann格式离散，泥沙输运方程采用Holly-Preissmann差分格式离散[8]。
4 数值试验
4.1 试验条件
天然河道断面形态、地形极不规则，流态复杂，为排除干扰，突出主要矛盾，数值试验采用矩形渠槽进行，只考虑悬移质情况，采用了均匀沙。所采用的矩形渠槽长100km，底宽500m，底坡为0.0002，糙率为0.03。每隔2km设一个断面，自0-100km共有51个断面。渠槽示意图见图1。本算例象征性描述一个河道型水库的淤积过程，下游末端（断面51）对应于坝前断面。
|
4.2 模型沙 原型沙粒径为0.036mm，干容重为1.15t/m3。为计算不同时间变率对水流及泥沙运动的影响，数值试验中选用了三种不同的模型沙，容重分别为1.33kg/m3，1.15kg/m3，1.05kg/m3，每种沙对应一个时间变率(αt=λtb/λtf)。为消除几何比尺不同及几何比尺变态的影响，几种模型均取相同的几何比尺，有关比尺见表1. |
|
4.3 数值试验及结果
数值试验的思路为：分别在原型及模型尺度条件下对水流，泥沙运动进行计算，再通过相应的比尺把模型计算结果返算到原型，比较不同时间变率的模型尺度下计算结果与原型尺度下计算结果的差异。
|
天然情况下洪水波的传播总是不恒定的，实体模型试验一般须对实际洪水过程进行概化处理，将一个洪水过程概化成一系列恒定流时段，便于进口水沙控制。尽管在概化过后的每个时段内，进口水流及泥沙过程是恒定的，但由于各个时段的流量，泥沙浓度均不相同，从整体看，过程仍是不恒定的。为使数值试验条件与实体模型试验保持一致，也把经概化处理后的流量过程线作为边界条件：上游来流流量，泥沙浓度变化，下游水位不变，计算采用的边界条件图2所示。 |
|
表1 数值试验的有关比尺
Scales used in the numerical tests
|
| |||
|
|
模型沙1 |
模型沙2 |
模型沙3 |
|
| |||
|
几何比尺λl |
100 |
100 |
100 |
|
流速比尺λu |
10 |
10 |
10 |
|
流量比尺λQ |
100000 |
100000 |
100000 |
|
糙率比尺λn |
2.154 |
2.154 |
2.154 |
|
容重比尺λρs |
1.993 |
2.304 |
2.524 |
|
干容重比尺λρ |
2.447 |
2.447 |
1.769 |
|
泥沙浓度比尺λs |
0.3985 |
0.2095 |
0.0765 |
|
悬移质粒径比尺λd |
1.414 |
0.9535 |
0.5505 |
|
水流运动时间比尺λtf |
10 |
10 |
10 |
|
河床变形时间比尺λtb |
61.4 |
116.8 |
231.34 |
|
时间变态率αt |
6.14 |
11.68 |
23.134 |
|
| |||
在此边界条件下，经三种模型试验后，流量、流速等水力条件与原型情况相比均发生了变形。以断面6，16，31和51为典型断面以观察时间变率的大小、断面距模型起点的距离对水流及泥沙运动的影响，为表达清楚起见，流量、流速及水位波动图中仅画了第一个洪水波的传播情况。图例中，p表示原型情况，m1，m2，m3分别表示三种模型沙对应的模型试验结果返算至原型后的值。
4.3.1 对水流运动的影响
|
|
|
图3 断面流量及流速变态情况(左排为流量过程，右排为流速过程;P:对应于不变态，m1-m3对应于表1的三种情况) |
|
由图3可见，相对于没有变态的情况，变态模型试验的流量过程稍有滞后，而且，变态率越大，槽蓄和惯性作用的扭曲越严重，滞后和波动越严重。模型的时间变率越大，距进口断面的距离越大，流量过程的滞后和波动越明显。相反，水位过程(图4)则是距尾门越远波动程度越大。这与模型试验测量结果是一致的[9]。 若定义水流运动相似的模型上流量变化时的变化率为θQ=ΔQ/Δt，在变态模型上流量变化率则应为：θQd=ΔQ/Δtb=αtθQ，所以，变态模型上洪水流量的变化率加快了αt倍。迅速变化的上游来流必然导致波动现象的产生。时间变率越大，波动也就越剧烈。 |
|
|
由于变态模型中水流运动时间没有得到满足，波动传递不足，所以水动力学过程也相应会出现滞后，滞后程度也随变态的程度而增加。水流过程的扭曲虽然比较严重，然而，相对于泥沙运动而言，时间变态对水流过程的影响要小的多。 4.3.2 对泥沙运动的影响 在明渠水流中，物质传递的速度等于水流速度，它相对于水流过程的传递(约为波速)要慢，时间变态后，泥沙浓度的传递过程不能加快。在时间变态模型中，泥沙浓度和水流过程的相位差异可能大大增加。在一个相对比较短的洪水过程中，甚至会出现泥沙过程和水流过程的错相。变态与不变态情况下，泥沙浓度过程的比较如图5所示。 由图5可见，断面泥沙浓度的恢复过程各断面有很大的差异。对同一模型，断面距起始断面越远，泥沙浓度过程的变形越剧烈，滞后也越明显；而对时间变率，时间变率越大，泥沙浓度过程的变形越剧烈，滞后越明显。以距离起始断面60km的断面31为例，变率最大的模型沙m3的泥沙浓度过程线相对于原型发生了很大的扭曲和滞后： |
|
|
原型的第一个浓度波在第420小时就已结束，而模型m3的浓度波在此时刚刚开始。因而，在变态模型中，在距离进口较远的断面，泥沙浓度过程相应于原型将发生严重的相位滞后，导致泥沙输运与水动力学过程发生了错相。把原型在断面31与模型3在断面31的挟沙力过程线和泥沙浓度过程线进行比较，可以更直观地看到泥沙运动过程相对于洪水传播过程的滞后（见图6）。 |
|
对于原型，挟沙力与泥沙浓度过程基本同步(稍晚)，亦即水流和泥沙运动过程基本同步。大水带大沙，小水带小沙；对于模型m3上的断面31，相对于洪水波，泥沙浓度的传播几乎滞后了整整一个洪水波的时间，在第一个洪水波结束的时候，此断面的所对应的泥沙浓度过程才刚刚开始，与第二次小流量过程的整个时段所对应的都是大浓度过程，这就使得在此模型断面上，第一个洪水波出现时，大水带小沙；洪水波结束后，小水带大沙，冲淤规律与原型完全不一致，河床变形过程与原型自然也是不相似的了。对于本研究的例子，由于泥沙和水流过程的严重错位，变态模型的结果实际上已经不相似了。
|
由流量过程与泥沙浓度波过程的比较可见，由于浓度波与洪水波的不同步，浓度波在传播过程中发生了滞后和变形。滞后主要是由断面位置决定的，断面距起始断面越远，滞后就越明显；而变形主要是由洪水过程的历时决定的，对于较长历时的洪水，浓度波能够在本次洪水过程内得到恢复，变形程度也就相应减小了，而对于变化迅速的洪水波，即使模型河段较短，断面上浓度波的滞后和变形也是不可忽视的。 |
|
针对模型河段总长为20 km的情形，对历时为3天的洪水波在同样条件下进行了数值试验，即上游水沙条件变化，下游水位不变。模型末端断面（距起始断面20km）处流量与含沙浓度的传播过程见图7：
可见，较短的模型河段上，对于变化频繁的洪水过程，时间变态对流量的传播影响较小，但对泥沙浓度波的传播仍有很大影响。
转贴于4.3.3 对沿程淤积的影响
时间变态对水流和泥沙运动过程的影响必然会反映到河床变形上。图8是河道淤积过程中不同时刻的沿程淤积面积的分布情况比较。图中距离为断面距起始断面的距离。
|
|
|
图8 时间变态后沿程淤积面积比较 |
在图8中，前100小时内水流为恒定流见(图2)，所以不同变态率的模型淤积面积几乎一致；到420小时第一个洪水波结束时，由于水流泥沙运动的错相，时间变态模型的淤积面积和不变态的模型有了很大差异，距离进口较远的断面上的泥沙浓度来不及恢复(图5)，大水带小沙，所以变态模型断面淤积面积普遍偏小。对m3的情况，最大误差达-80%；之后，模型上的泥沙浓度得到了部分程度的恢复，加上小流量时段的小水带大沙，模型下段的淤积得到快速的恢复增加，差异迅速减少，到1020小时时，模型m3的断面最大误差降低到-35%。随着模型时间的继续，误差可以还可以减小，继续维持一段恒定流量到第1500小时，断面淤积面积的误差可以进一步减小。而且由于运行后期，模型上为“小水带大沙”，模型大部分断面的淤积面积比原型大了。由图7还可看出，模型m3上距起始断面80 km以后，冲淤规律亦与原型有了很大差异，原本是水库沿程淤积的情况，在模型m3上变得有冲有淤，说明此时不仅淤积量有了误差，淤积规律也被歪曲了。由淤积过程可以清楚地看到，时间变率越大，模型误差越大；模型断面距起始断面越远，模型误差越大。除沿程淤积外，库区的总淤积量也随模型时间变率有了较大的变化（图9）。
|
图9 总淤积量及其误差比较 |
从较长的时间看，在一个单向淤积的河段，由于“小水大沙”和“大水小沙”的扭曲过程的交替组合，河道淤积总量和淤积断面的误差可以得到一定的补偿和调整，宏观淤积过程的误差可能是比较小的。但是，由于泥沙运动过程和水流过程的不一致，河道淤积的平面分布一定会受到影响。比如，高洪水位是河道边滩可能产生严重淤积的时候，然而，在时间变态后，由于这时对应的含沙量比较小，滩地淤积将减小；当洪水过后泥沙浓度恢复时，由于洪水已不能漫滩，滩地不会面临淤积，小水带大沙的补偿作用不能补偿滩地的淤积，必然导致滩地淤积的减少。在冲淤交替的河道中，水沙错相可能产生更多的问题。限于本研究的模型是一维的，对于以上更复杂的情况不能作更多的研究。同时，本研究采用的运行条件下尚没有包括下游水位变化的情况，这时，尾门水位控制还存在很大的问题：大幅度的槽蓄变化使时间变态模型出现严重“多水”和“少水”现象，水动力学过程的相似将出现问题。对于更复杂情况的研究，还有待进一步的工作。
5 结论
本文用一维非恒定水流泥沙数学模型计算和分析了水库淤积条件下时间变态模型对水流、泥沙运动及河床淤积的影响。从定量上描述了泥沙模型试验中时间变态造成的影响，得出了以下几点初步结论.
1. 在本文所采用的边界条件下，泥沙运动过程受时间变态的影响大，变态造成泥沙浓度过程的滞后与变形，出现水沙过程错相现象。当时间变率较大时，距起始断面30km后，泥沙过程就发生了明显的滞后、变形并与水流过程错相，模型泥沙运动过程已经出现事实上的不相似。
2. 时间变态对水流运动也有一定的影响，表现为时间变态时流量、流速及水位过程的波动和滞后。时间变率越大，模型越长，波动越剧烈。但水流过程滞后相对于泥沙过程更小。 3. 在本研究所考虑的水库沿程淤积条件下，由于水沙错相，造成模型断面淤积和总淤积量产生偏差。随着大小洪水“大水带小沙”和“小水带大沙”的相互补偿，淤积误差随时间增加可以得到减少，但是，误差减小的结论不包括断面淤积形态所受的影响。
4. 本文研究了下游水位不变，水流泥沙过程完全由上游决定的最简单情况。在更复杂的水流泥沙边界条件下，时间变态带来的影响还需进一步研究。
5. 泥沙模型试验是很复杂的，需要综合考虑水流流态，泥沙起动，冲淤等等各方面条件的相似。本文仅从动态过程的一个侧面反映出一些问题，有些因素在一维数学模型中不能反映。具体结论上需要全面研究决定，特别是利用实体模型和三维数学模型进行分析研究。
参 考 文 献
[1] 谢鉴衡。河流模拟。电力出版社，1990.
[2] 王兆印，黄金池。泥沙模型试验中的时间变态问题其影响。学报，1987，(10)。[3] Wang， Zhaoyin， Wolfgang Kron， Time distortion in large scale sediment model tests， J. Hydr. Res.， Vol.29， 1991， No.2.
[4] 吕秀贞，戴清。泥沙河工模型时间变态的影响及其误差校正途径。泥沙研究，1989，(2).
[5] 向立云。时间变态对模型模拟影响的探讨。水电科学研究院研究生论文，1989.[6] 陈稚聪，安毓琪。河工模型中时间变态与水流挟沙力关系的试验研究。人民长江，Vol.26(8).
[7] Zhou， J and Lin，B. 1-D mathematical model for suspended sediment with lateral integration， J. Hydr. Engr.， ASCE 1998， 124 (7).
[8] Holly F.M， Jr.， Precissmann A， Accurate calculation of transport in two dimensions， J. Hydr. p.， Vol. 103， No. HY11， Nov. 1977.
[9] 部科技教育司，交通部三峡工程航运领导小组。长江三峡工程泥沙与航运关键技术研究研究报告集(上册)，306页。