摘要：从简化的颗粒运动方程出发， 分析了在剪切流场中颗粒脉动强度和流体脉动强度之间的关系。结果表明， 由于纵向时均流速的垂线分布梯度的作用， 颗粒在两个方向上的脉动强度均可能超过相应的流体脉动强度。
关键词：流速梯度 Stokes数 脉动强度
1 引言
对于细小悬浮颗粒在恒定、均匀、各向同性紊动流场中的运动， 理论分析和试验量测都表明: 颗粒的脉动强度总是小于相应流体的脉动强度，而且随颗粒Stokes数（Stokes数定义为α=ωe/β，ωe和β分别是紊动场含能漩涡的特征频率和颗粒的反应频率）的增大，颗粒脉动强度将减小；当α足够大时， 颗粒的脉动强度将趋于零[1，2]。
随着LDV(Laser Doppler Velocimetry)和PIV(Particle Image Velocimetry)技术的发展与应用， 对颗粒在剪切流场中的运动有了较多的实测成果，不少文献中发现了颗粒的脉动强度大于相应流体的脉动强度的现象[3～6]。Lijegren 通过理论分析表明， 纵向时均流速的垂线分布梯度的存在，使得颗粒纵向脉动强度有可能超过流体脉动强度，而颗粒垂向脉动强度则不受流速梯度的影响[7］。
本文在Lijegren工作的基础上，考虑了流速梯度引起的Saffman力的影响， 进一步分析了颗粒脉动强度和流体脉动强度之间的关系。结果表明， 由于纵向时均流速垂向分布梯度的作用， 颗粒在两个方向上的脉动强度均可能超过相应的流体脉动强度。
2 颗粒运动方程
考虑圆球状单颗粒在二维恒定均匀剪切流场中的运动。当粒径较小时，阻力可用Stokes公式表示。 只考虑颗粒所受的Stokes阻力和垂向的Saffman力[8]， 忽略其它力的作用，则颗粒的运动方程可表示为
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(π/6)D3ρp[(dUp)/(dt)]=3πμD(Uf-Up) |
(1) |
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(π/6)D3ρp[(dUp)/(dt)]=3πμD(Vf-Vp)+δ′(Uf-Up) |
(2) |
式中 D表示颗粒直径，下标f，p分别代表流体和颗粒，U， V分别表示纵向和垂向流速，μ为流体动力粘性系数。， 其中G为纵向时均流的垂线分布梯度:G=d/dy. 为简化分析， 这里取G为常数.
将式(1)、(2)整理得
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(dUp/dt)+βUp=βUf |
(3) |
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(dUp/dt)+βUp=βUf +δ(Uf-Up) |
(4) |
其中β=18μ/(D2ρp)，δ=6δ′/(πρpD3)。
按照Lijegren[7]的方法对式(3)作进一步分析。引入
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ΔU=Up- |
(5) |
其中Uf=+uf，uf为脉动速度。由式(5)可得
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(6) |
沿颗粒的运动轨迹观察， 有
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(7) |
把式(5)、(6)、(7)代入式(3)得
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(dΔU)/(dt)]+βΔU=-GVp+βuf |
(8) |
不考虑体积力， 对细小颗粒有=0。对式(8)取平均可得
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(9) |
式(9)为简单的一阶线性微分方程，其渐近平稳解=0， 即在摆脱初始条件的影响后，有p=f。结合式(5)可知ΔU=up， 同时在二维恒定均匀流中有=0， 则式(8)、(4)可分别写为
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[(dup)/(dt)]+βup=-Gvp+βuf |
(10) |
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[(dup)/(dt)]+βup=βvf+δ(uf-up) |
(11) |
式(10)、(11)即为用脉动流速表示的简化的颗粒运动方程。
3 颗粒脉动强度分析
对普通函数f(t)， 只有当收敛时，其Fourier积分才存在。而对随机函数而言， 任一个平稳的随机过程， 虽则当t为无穷大时并不趋于零， 但其具有明确物理意义的Fourier变换仍然是存在的[9]。定义，对式(10)、(11)进行Fourier变换
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(12) |
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(13) |
整理可得
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(14) |
用 (ω)和(ω)来表示(ω)和(ω)，则由式(14)、(15)可得
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(14) |
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(15) |
记能谱密度:S(ω)=|F(ω)|2 ， 则由式(16)、(17)分别可得
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(18) |
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(19) |
其中
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(20) |
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(21) |
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(22) |
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(23) |
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(24) |
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(25) |
对能谱密度进行积分，可得脉动速度的均方值。从式(18)～(25)可得
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(26) |
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(27) |
其中
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(28) |
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(29) |
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(30) |
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(31) |
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(32) |
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(33) |
颗粒的纵向脉动强度由3项组成：M1项是颗粒脉动对流体脉动的响应， M2和M3两项则是由于流速梯度引起的附加项， 而且流速梯度越大， 二者的作用越明显。易知 M2&>0。在剪切流场中，的符号和流速梯度G的符号相反， 由此从式(22)、(30)知， M3的符号和(β2-δG)的符号相同， 当(β2-δG)&>0时， M3&>0。
颗粒垂向的脉动强度也由3项组成：N1项是颗粒脉动对流体脉动的响应， N2和N3是流速梯度引起的附加项， 而且流速梯度越大， 二者的作用越明显。易知N2&>0， N3&<0。
下面定量考察流速梯度G的影响。记α=ωe/β，λ=δG/B2(λ&>0)， 则有
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(β2-ω2-δG) 2+4β2ω2=[ω2+(1+)2β2][ω2+(1-)2β2] |
(34) |
则Xi， Yi(i=1，2，3)分别可以写为
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(35) |
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(36) |
其中
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记/ωe， 则ω/β=α， 从而有
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(37) |
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(38) |
其中:α1=α/(1+)，α2=α/(1-)，λ≠1。下面的分析只考虑α2&>0， 对于α2&<0的情况， 可得到相同的结论。
进一步的分析依赖于对能谱密度具体形式的认识。Lijegren[7]在其分析中采用如下能谱密度形式
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(39) |
u′为流体的特征脉动速度， 在各向同性流场中， 有u′2==，ψ为Lagrangian长度积分比尺， 对于Xii， 有
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(40) |
ωd为截止频率， C0为常数:C0=ωeψ/u′=3π/[2(2-ωe/ωd)]
本文采用同样的能谱密度形式。记
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(41) |
把式(39)、(40)代入式(41)， 在α1很小而α1ωd/ωe很大时，可得f(α1)的近似值
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(42) |
同理在α2很小而α2ωd/ωe很大时， 可得f(α2)的近似值为
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(43) |
由以上的分析可得
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(44) |
同理可得
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(45) |
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(46) |
由此可得
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(47) |
从式(47)可知， 当下式成立时
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(48) |
颗粒的纵向脉动强度将大于相应的流体的脉动强度。同时也可以看到，在不存在流速梯度时(G=0，λ=0)有：/=1-π/4α+O(α2)，即颗粒的脉动强度将小于流体的脉动强度。可见流速梯度对颗粒的纵向脉动强度有着直接而重要的影响。
对于颗粒的垂向脉动强度， 按同样的分析方法，可得
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(49) |
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(50) |
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(51) |
从而有
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(52) |
在λ&<1时，有1/(1-λ)2&>1，所以在α较小时，总有可能使得(52)式的值大于1，即颗粒的垂向脉动强度大于流体的垂向脉动强度。由上式也可知，在不存在流速梯度时(δ=0，λ=0)有：/=1-π/4α+O(α2)，即颗粒的垂向脉动强度总是小于流体的脉动强度。可见流速梯度对颗粒的垂向脉动强度大小也有着直接而重要的影响。
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图1 颗粒脉动强度和流体脉动强度的关系 |
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The relationship between turbulent intensity of two phases |
由以上分析可知，由于流速梯度的作用，颗粒脉动强度有可能超过流体的脉动强度， 下面给出一个具体的算例。假定流场中含能涡旋的特征频率在100HZ以下， 表征紊动涡旋尺度的Komogorov比尺约为0.1mm的量级。对于0.01～0.1mm的细小轻质塑料圆球颗粒(容重为1.056)， 取ωe=50HZ， 颗粒的脉动强度和流体脉动强度的关系如图1。
从图1可以看出， 对于极细小的颗粒(D&<0.01mm)， 无论在何种流场中， 其脉动强度和流体基本相同; 对于粒径和紊动尺度相当的颗粒(D≈0.1mm)， 若流速梯度不存在，其脉动强度将小于流体的脉动强度; 而在强剪切流场中， 其脉动强度明显超过流体的脉动强度。
4 结论
从简化的颗粒运动方程出发， 分析了颗粒脉动强度和流体的脉动强度之间的关系。结果表明， 由于纵向时均流速的垂线分布梯度的作用， 颗粒在两个方向上的脉动强度均可能超过相应的流体脉动强度。
在实际水槽流动中，由于流速梯度沿水深存在变化， 而且床壁附近颗粒与边界及颗粒与颗粒之间的碰撞频繁，因此对明槽悬移质的脉动强度还需要进一步的深入研究。本文的分析中引入了一些简化和假定， 得到的结论也只有在粒径较小时才有合理性，不能简单地类推至粒径较大的颗粒。
参考文献
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