摘要：本文阐述了凹槽中旋涡形成的力学机制；利用文献［1］中的结果建立了凹槽中旋涡的涡量平衡、能量平衡近似关系式；给出了旋涡初生空化数的表达式，它不仅和凹槽的宽深比有关，还和参数K1有关(K1为流道宽和槽深之比)；对不同的深宽比和K1值计算了凹槽中的旋涡参数和初生空化数，把计算的初生空化数和已有的实测凹槽旋涡初生空化数进行了对比，两者的值和变化趋势基本一致。
关键词：凹槽 旋涡 初生 空化数
在本世纪四十年代，美国垦务局发现所属工程中的平板门门槽，如派克坝的门槽等，很多都发生了空蚀现象，从而引起水力学研究者对门槽水力特性的关注，进行了一系列的实验研究。J.W.Ball(1959)发表了“闸槽水力特性”[2]一文；К.К.Шапьнев(1962)可能是最早发表了平面门槽空化特性的系统研究结果[3］；1973年，T.W.Ward发表了他在循环水洞中测定的凹槽的初生空化数[4]，但文献[3，4]的结果不完全相同。1983年，金泰来教授等发表了闸槽初生空化数的系统试验结果[5]。由于凹槽中的旋涡比较复杂，至今尚无对凹槽中的旋涡与空化进行理论研究得到的结果，因此文献[6]曾明确指出，两维凹槽中的空化是一个没有解决的问题。本文试图利用文献[1]的结果，较粗略地定量估计凹槽的初生空化数(旋涡空化)。
1 凹槽旋涡的形成机制
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如图1所示，若流道中的流速为V0，凹槽中的水维持静止状态，则在主流与凹槽的界面a—a形成涡层，它的环量为VoWo，(Wo是凹槽的宽度)，图1凹槽中旋涡及流场示意a—a界面上的剪应力很大，当Vo达到足够大时涡层失稳，它分解成较弱的涡层和一个或若干个独立涡。主流在a—a界面上对旋涡不断作功，使旋涡的涡量不断增大。最后达到一个平衡状态：主流于单位时间内在a—a界面上所作的功恰好等于较弱剪切层和独立旋涡在单位时间内的能量耗散。另外，近似按环量定律考虑，较弱涡层的环量与独立涡的环量之和等 |
图1 凹槽中旋涡及流场示意 |
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于分解前的原环量VoWo。从上面的简单考察可知，凹槽中的旋涡是由主流在凹槽界面形成的剪力所带动的，它虽有三面固体边界所包围，它的形成机制是和文献[1]中所研究的旋涡是相同的，所以可以利用文献[1]中的研究结果确定凹槽中的旋涡特性，即确定旋涡的长、短半轴a与b及参数α，为方便起见，把本文所需的文献[1]给出的几个表达式，摘录于下。 | |
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Vx=αK2y |
} |
(1) | |
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Vy=αx | |||
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K=α/b |
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(2) | |
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DS=μTα2(K2-1)2 |
(3) | |
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Po=-ρα2K2b26(2K2+1)+Pm |
(4) |
I、DS、Po分别是旋涡的环量、单位时间内单位体积液体的机械能耗散量、旋涡中心的压强。μT是液体分子动力粘滞性系数和紊流涡粘滞性系数之和，Pm是旋涡外的环境压强。Vx、Vy分别为与坐标x、y相应的旋涡中的质点流速，ρ为液体的密度。
2 凹槽附近的概化流速分布与VxB的估计
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为了建立凹槽中旋涡的能量平衡、涡量平衡关系先把凹槽附近的流速分布概化，如图1.主流于A点脱体，C是驻点，分离线上侧留下一个剪切区，的下侧形成一个独立涡。有的文献认为在Wo/Do=0.5等Wo/Do值较小的情况下凹槽中可能形成3个独立涡，但并未被实验证实。当Wo/Do足够大时，图1中的独立涡转化为图2中的角隅涡。实际上，在凹槽中除了一个较大的独立涡外，还有几个很小的涡，在概化流场中已予以忽略。 为了考察B点流速VxB的变化，
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当Bo/Do给定，Wo/Do变化时，μ如何变化?还不清楚。下面考虑Wo/Do=0和Wo/Do→∞时的两种极端情况。
第一种情况，Wo/Do=0，当Wo/Do=0→0时，凹槽中的流速也越来越小，因此当Wo/Do=0时，相应的：
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μo=0 Wo/Do=0 |
(5b) |
第二种情况，Wo/Do=0→∞。当Wo/Do=0值足够大时驻点C从凹槽的下游边移到侧边，独立涡以角隅涡的形式出现，如图2。水流流过A—A断面后过流断面在不断变化，通过B点的O—O断面上流速已不再均匀分布。根据文献［6］中给出的凹槽附近的实测流速分布，假定O—O断面上的流速服从抛物线分布，即：
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Vx=Vo-ξ∞y2 |
(6) |
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(7) |
α是一个常系数，近似取α≈0.4.
根据连续性方程有：
所以
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ξ∞=3VoαDo(Bo+Do)3 |
} |
(8) | |
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Vx，B，∞＝Vo-3VoαDo·(Bo+Do)3·(Bo+Do)2=Vo[1-(3α/K1+α)] | |||
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K1＝BoDo | |||
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μ∞，B＝1-3αK1+α |
下标∞表示Wo/Do→∞时的值。
那么当Wo/Do从零逐渐增大时μB值如何变化?比较图2和图1中的C点可知，当Wo/Do不是很大时驻点C从图2中的侧边移向图1中的下游边，相应地，B点向主流靠近，Vx，B也增大。据此可以推测，当Wo/Do从零逐渐增大至∞时，μB值从μoB=0增大到一最大值然后再降到μ∞，B从而可构成μB的一般表达式如下：
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Ko=Wo/Do |
(9) |
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如前所说，独立旋涡的涡量与分解后剪切层的涡量之和等于原涡量。为了简化起见，把流速分布进一步简化成图3，于是可得：
式(10)左边第一项是分解剪切层的涡通量，第二项是独立涡的涡通量，式(10)的右边项是分解前的涡通量。 把式(2)代入式(10)经整理得： |
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由B点处流速协调和式(1)的第一式知：
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Vx，B＝αK2b |
(12) |
把式(12)代入式(11)后有：
KWo=πb(1+K2)
把式(9)的后一式
Wo/Do=Ko
代入上式得：
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b/Do=(KoK)/[π(1+K2)] |
(13) |
式(13)就是由涡量平衡得到的b、Do、Ko和K的关系式。
4 旋涡的能量平衡
前面说过，单位时间内主流在界面a—a上的剪力T所作的功，等于凹槽内剪切层和独立旋涡的机械能耗散。
a—a界面上的剪应力τ为：
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τ=μT（dVx/dy） |
(14) |
因为旋涡中心的Vx=0，α—α界面上的Vx=VxD，所以从旋涡中心到α—α界面的平均剪应变为Vx，D/+b(见图1).那么如何估计线段X-的长度?对图2的情况，大多实验表明≈7Do，即的斜坡约为1/7≈0.14，假如认为图1中AC线的斜率也保持0.14，那么=0.14×Wo2=0.07Wo=0.07KoDo，于是可得：
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(15) |
从而有：
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τ｜α-α≈μT·[(Vx，D)/(0.07KoDo+b)] |
(16) |
α—α界在上的总剪力T为：
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(17) |
单位时间内α—α界在上T所作的功E可由下式计算
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(18) | ||
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K2=b/Do |
||
假定这功平均分配给凹槽内的水体，则凹槽内单位体积水体在单位时间内获得的功为：
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(19) |
根据前面的假定，旋涡内水质点所得到的功全部用于机械能耗散，因此旋涡的能量平衡关系可表示为：
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E/WoDo=Ds |
(20) |
假定旋涡内的动力粘滞系数μT和a—a界面上的μT相等，再利用关系式(3)，可得：
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(21) |
对Vx，D写出和式(5a)平行的表达式：
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Vx，D＝μDVo |
(22) |
于是可得：
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Vx，D＝（μD/μB）·Vx，B |
(23) |
把式(23)代入式(21)后有：
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(24) |
再利用式(1)中的第一式，则可把能量平衡关系写成如下形式：
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(25) |
把式(13)和(25)联立即可求得在给定Ko和K1值下的K、K2值。
因文献［1］中所研究的旋涡当K=1时DS=0，即K=1的旋涡没有机械能耗散，所以这种旋涡是不可能真实存在的，式(25)也反映了这种旋涡的这一特性。
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5 初生空化数图 假定空化初生时的液体临界压强为水的饱和蒸汽压强PV，因凹槽中旋涡的最低压强Pmin在旋涡的中心，利用式(4)和(12)得：
近似取Pm=PB，再假定PB+ρV2xB2=P∞+ρV2o2，利用式(5)后可得σi的计算式为： |
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(27) |
把K1=5、10时的计算σi值和文献[4]、[5]的实测σi值比较于图4，计算σi值及其变化趋势和相应的实测结果大致相同。
6 讨论和结论
(1)用水力学方法对凹槽中的旋涡进行定量分析，是一个新的尝试。文中几个假定虽有明确的物理依据，但定量关系都比较粗略。
(2)虽然关系式(13)、(25)、(27)都是在比较粗略的假定下得到的，但用这3个表达式计算得到的σi值和相应实测值的大小和变化趋势是大体一致的，这至少表明文中提出的力学机制基本上是反映了实际情况的。
(3)本文的简化模型没有反映出Vo的大小对凹槽旋涡特性的影响，但从直观判断，若Ko和K1维持不变，当Vo从零逐渐增大时，图1中段的大小可能有一定变化，只有当Vo足够大时，才维持不变。
(4)实际闸槽中的旋涡和凹槽中的旋涡是有一定差别的。闸槽中一般都有竖向流速，旋涡随流变形，因此闸槽中的σi也不会和凹槽相同，差异的大小和闸槽所在处的溢流面形状有关。
参 考 文 献：
[1] 倪汉根，陈霞。平面旋涡(中心型奇点)水力特性的探讨［J］，学报，1998，(11).
［2］Ball，J.W.，Hydraulic Characteristics of Gate Slots［J］，Proc.ASCE，Jour.of Hydraulics pision，Vol.85，No.HY10，1959.
［3］Шапьнев，К。К，кавитация Щитовых Пазов Изв［J］AH.CCCP.OTH.Mex.и Maщ。，No.2，1962
［4］Ward，T.W.，Slot Cavitation［C］。Cavitation and Polyphase Flow Forum，ASME，1973.
［5］金泰来，刘长庚，刘孝梅。门槽水流空化特性的研究［C］，水电科学研究院集，第13集，电力出版社，1983.
［6］Holl，J.W.，Billet，M.L.，Limited Cavitation on Isolated Surface Irregularities—Unsolved Problems ［C］，Proc.of Intel.Symp.on Cavitation，Vol.1，Sendai，Japan，Apriol 16-16，1986.