【摘要】 利用支付累积函数将生存年金与保险费的各种支付方式统一起来，从而得到了各种付款流(包括生存年金和保险费)的精算现值综合表达式E(Y)=〖JF(Z〗+∞0ST(t)vtdB(t)〖JF)〗 。从理论的角度来说，高度抽象化的公式通常能使我们更好地认识事物的本质， 同时，在基本的计算不再成为讨论问题的障碍的今天，这样做可以简化知识的表述方式，这在理论与实际中都非常有意义。
【关键词】 支付累积函数; 生存年金; 精算现值
1 引言
在人寿保险经营中，生存年金的计算是各种精算现值计算中的一项重要内容，所谓生存年金是间隔相等时期(如按月、季度、半年或一年)绵延不断的一系列支付，但这些支付是以指定领取人活着为条件，一旦领取人死亡，支付立即结束。对于人寿保险中的几种生存年金的精算现值，有关文献给出了其计算公式。具体可
参考文献
[1]。事实上，将年金都看成一个付款流，它们在某个规定事件(死亡 )出现时停止支付，则各种年金的付款流从本质上是一致的。唯一的区别仅在于使支付停止的事件的概率的性质(从数学上来说就是其分布函数)。因此，无论是连续年金还是离散年金，其精算现值的计算应该可以在一个统一的框架下来处理。本文拟将各种生存年金的精算现值的计算方法统一起来，从理论的角度来说，高度抽象化的公式通常能使我们更好地认识事物的本质， 同时，在基本的计算不再成为讨论问题的障碍的今天，这样做可以简化知识的表述方式，这在理论与实际中都非常有意义。本研究第2节给出连续生存年金的精算现值的统一表达方式，第3节讨论离散生存年金精算现值的统一表达式，第4节则将连续年金和离散生存年金的精算现值作统一的处理。
将投保时年龄为x的人记为(x)，其从保单签发到其死亡所经历的时间就是被保险人的剩余寿命，记为T=T(x)。
2 连续生存年金
定义：(x)活着时支付每年1单位连续的生存年金， B(t)是从投保时起在时间区间[0，t]中的支付总额。则称B(t)为连续生存年金的支付累积函数。
其中，连续支付的含义是指每时每刻连续不断地支付。根据连续生存年金的支付方式，有下列几种类型的连续生存年金的支付累积函数B(t)。例如：
① 永久连续支付：B(t)=t
② n年定期连续支付：B(t)=min(t， n)
③ 递延n年的永久连续支付：B(t)=t - min(t， n)
④ 递延m年的n年定期连续支付：
B(t)= 0 t≤m
t-m m
m-n t≥m+n
引理1：连续生存年金的支付累积函数B(t)是右连续的。
证明是显然的，因为limΔt→0+(B(t+Δt)-B(t)=limΔt→0+[(t，t+Δt)的支付累积] =0
设有效年利率为i，记v=e-δ=(1+i)-1 为贴现率，其中δ为利息效力，显然vt 是从赔付时刻回溯至保单签发时的利息帖现函数。
定理1：设投保人的连续生存年金的支付累积函数为B(t)，则他的生存年金的精算现值为
E(Y)=〖JF(Z〗+∞0 tPx vtdB(t)〖JF)〗
这里 tPx 表示年龄为x的生命事件超过未来t时刻才出现的概率。
证明：在t时刻的连续生存年金的支付累积为B(t)，那么在(t，t+Δt) 中支付累积：B(t+Δt)-B(t)=dB(t) ，它回溯至保单签发时的现值为vt dB(t) 。
支付累积B(t)的现值为Y=〖JF(Z〗T0vtdB(t)〖JF)〗 ，这里T=T(x)是投保人在保单签发时的剩余寿命。
因为T为随机变量，从而Y也是随机变量。所以，支付累积为B(t) 的精算现值(即现值的数学期望)：
E(Y)=〖JF(Z〗+∞0Y tPxμx+1dt〖JF)〗=〖JF(Z〗+∞0〖JF)〗 〖JF(Z〗t0vtdB(r)tPx μx+tdt〖JF)〗
=〖JF(Z〗+∞0〖JF)〗 〖JF(Z〗+∞r tPx μx+tdt vtdB(t)〖JF)〗=〖JF(Z〗+∞0rPx vrdB(r)〖JF)〗 证毕。
连续终生生存年金、连续n年定期生存年金、连续n年定期生存年金、连续递延n年的终生生存年金都是上述定理的特例。
3 离散生存年金
离散生存年金理论与对应的连续生存年金理论几乎完全相似，只是积分改成求和，微分改为差分。因此可以得到相似的结论。但是要考虑期初支付和期末支付的问题。此时，对支付起作用的是整值剩余寿命。显然，生存年金累积函数的函数值只能为整数。为了定理的证明，我们先给出一个引理。
引理2：设K是取值于非负整数的离散型随机变量，分布函数为G(k)，概率函数g(k)=ΔG(k-1) ，如果z(k)是非负单调函数且使得E[z(K)] 存在，那么
E[z(K)]=∞k=0z(k)g(k)=z(0)+∞k=0[1-G(k)Δz(k)]
这里，Δz(k)=z(k+1)-z(k) 为差分。
证明见文献[1]。
定理2：设投保人的离散生存年金的支付累积函数为B(t)，则他的生存年金的精算现值为
E(Y)=∞k=0 kpx vkΔB(k)
这里 kPx 表示年龄为x的生命事件超过未来k时刻才出现的概率。
证明：在t时刻的生存年金的支付累积为B(t)，那么在(t，t+1) 中支付累积：B(t+1)-B(t)=ΔB(t) ，它回溯至保单签发时的现值为vtΔB(t) 。
支付累积B(t)的现值为Y=[r]t=0vtΔB(t) ，这里T=T(x)是投保人在保单签发时的剩余寿命。
因为T为随机变量，从而Y也是随机变量。
所以，支付累积为B(t) 的精算现值(即 现值的数学期望)：
E(Y)=∞k=0 k+1t=0 vtΔB(t)Pr(K=k)=∞k=0 k+1t=0 vtΔB(t)k qx
取ΔY=vk+1ΔB(k+1) 应用引理可得
E(Y)=1+∞k=0 k+1px vk+1ΔB(k)=∞k=0 k px vkΔB(k) 证毕。
离散终生生存年金、离散n年定期生存年金、离散n年定期生存年金、离散递延n年的终生生存年金都是上述定理的特例：
4 付款流的精算现值
设T是一非负的广义随机变量，即我们可能有Pr(T=∞)≠0 。我们用T表示一个特定的随机事件发生的时间，当然{T=∞} 表示该随机事件永远不会发生。记ST(t)=Pr(T&>t) 表示广义随机变量T的逆分布函数(或叫生存函数)。B表示一个付款流，一旦该事件发生，就停止该付款流的运作。这里定义： B(t)是从投保时起在时间区间[0，t]中的支付总额，称为支付累积函数。对连续生存年金，B(t)是[0，∞) 中的连续单调递增函数，而对于离散生存年金;B(t)是递增的阶梯函数。类似与第一节的引理，B(t)总为非减的右连续函数。因此B(t)可以在[0，∞) 生成一个正测度。将一个函数f关于该测度的积分记为∫A f(t)dB(t) ，这里A为积分区域。我们得到：
定理3：设投保人的生存年金的支付累积函数为B(t)，则他的生存年金的精算现值为
E(Y)=〖JF(Z〗+∞0ST(t) vtdB(t)〖JF)〗
证明：在t时刻的支付累积为B(t)，那么在(t，t+Δt] 中支付累积为B(t+Δt)-B(t)=dB(t) ，它回溯至保单签发时的现值为 vt dB(t)。
支付累积B(t)的现值为Y=〖JF(Z〗T0 vtdB(t)〖JF)〗 。所以，支付累积为B(t) 的精算现值(即现值的数学期望)为：
E(Y)=E[〖JF(Z〗T0 vtdB(t)〖JF)〗]=〖JF(Z〗+∞0〖JF)〗 〖JF(Z〗∞tdFT(u) vtdB(t)〖JF)〗
=〖JF(Z〗+∞0ST(u) vtdB(t)〖JF)〗 。 证毕。
【参考文献】
1 N.L鲍尔斯，著. 余跃年，郑韫瑜，译.精算数学.上海:上海科学技术出版社，2001，79～97.