图论法用于供水管网水力计算的研究

摘要：图论理论是网络分析的主要工具，现用于管网的水力平衡计算 ，既充分发挥了图论理论的优势，使计算变得简便、迅捷，又可将管网附件加入计算，使结果更准确、更符合实际。文中采用峰阵输入管网结构，使输入数据的工作量大大减少，易于编制程序，计算大型的复杂管网。

关键词：供水管网 水力计算 图论法

前 言

　　供水管网的水力平衡计算是供水系统规划设计、经济评价和运行管理的基础。水力平衡计算的目的就是在确定管径的情况下求出满足连续方程和能量方程的各节点压力水头和各管段流量。目前常用的水力平衡计算方法有哈代-克罗斯法(Hardy-Cross)，牛顿-莱福逊法(New ton-Raphson)，线性理论法(Linear-Theory)，有限元法(Finite Element)等等。所有这些方法各有所长，适用范围各不相同，有的还需人工假设管段流量，使输入数据工作量增大，且未考虑管网附件的影响。本文介绍的图论法将复杂的管网处理为相应的“网络图”，并建立相应的数学模型，用峰阵输入原始数据来描述管网结构，输入的数据量最少，不易出错，易于计算大型的复杂管网。其计算过程可同时考虑管网附件，如控制阀、加压泵、逆止阀、减压阀等，使计算结果更符合实际。

1 图论原理

　　将供水管网中的管段概化成一条线段(即图中的边)，将有附件的管段看成图中的特殊管段，边与边由节点相连。这样，一个供水系统的管网图就转化为图论中的网络图。而且管道中的水流是有方向的，所以管网图是有向图。

根据以上所述原则，可将图1所示管网系统，转化为图2所示的网络图。

图1

图2

图1中有一水库A，三个给水点B、C、D，Q₁表示水库节点供水量，Q₂\，Q₃\，Q₄分别表示B、C、D节点的用水量。管段视为网络图中的对应边，管段的直径、管长、管道流量、摩损系数等作为管段对应边的权。至此，与管网同构的网络图生成了。图中箭头表示各条边的方向，即管段中水流方向。

　　网络图中节点与边的关联函数可以用完全关联矩阵I_4×5表示如式(1)所示。

　　 顶点　　　　　　　　 边的编号　　

　　　　　　(1)

式中：I_ij= { 1，表示j管段与i节点相连，且管内水流流离该节点；

　　　　 0，表示此管段不与该节点关联；

　　　　 -1，表示j管段与i节点相连，且管内水流流入该节点。

　　完全关联矩阵与管段流量列向量q以及节点流量列向量Q可组成管网节点方程(即连续方程)I_ij×q+Q=0，q=(q₁，q₂，q₃，q₄，q₅)^T，Q=(Q₁，Q₂，Q₃，Q4)^T。

　　网络图的生成树(全涉及树)可以有很多种，在计算时可以任选一种。在本例中，选1、2、4这3条边为图的生成树，则补树(余树)的各边(弦)为3、5.各弦将与枝构成基本回路，一个基本回路中有且仅有1条弦。用基本回路矩阵B_f表示则如式(2)所示。

式中每一行表示一个基本回路(环)。环的方向以该环对应弦的方向为准。“-1”表示管段中的流向与环中弦的方向相反，“1”表示相同，“0”表示该管段不在此环内。B_f可用矩阵B和单位阵U表示为式(3)。

　　环阵与管段摩损列向量h_f构成环方程如式(4)所示。摩损向量的元素顺序与B_f中每行元素所对应的管段顺序相同。

　　图论理论中，连续方程用割方程代替。每个割方程只含一根枝，并和相关的弦构成割集，将图2分割成互不连通的脱离体。这样，图中就有3个割集。割集和割集阵A_f如式(5)所示：

割集K：　　 割阵： A_f= [ 枝1 2 4 弦3 5 ]　　 (5)

　　　　K₁=(e₁，e₃，e₅)　　　　 1　　0 0 1　　-1　　

　　　　K₂=(e₂，e₃，e₅)　　　　 0　　1 0 -1 1　　

　　　　K₃=(e₄，e₅)　　　　　　0　　0 1 0　　1　　

割阵A_f中，每一行表示一个割集。图中有3根枝，所以就有3个割集。割阵中，“+1”表示该管段在此割集内，且管段流向与此割集内的枝中的流向相同，“-1”表示流向相反，“0”表示该管段不在此割集内。式(5)的割阵A_f和割集K一一对应。割阵Af可用一个矩阵A和一个单位阵U表示为：

割阵与流量列向量可构成割方程。

　　根据图论理论，割阵的行向量与环阵的行向量正交，这种关系可用式(6)表示。

所以有B=-A^T或者A=-B^T。这样，环阵可以由割阵求出，反之亦然。

　　关联矩阵通过选主元初等行变换即可得到割阵：先选关联阵第一行中一非零枝元素为主元，并使其为+1，消去其它各行中此主元；再选第二行、第三行、…的主元，最后即得割阵A_f。因此，可以由关联矩阵导出割阵和环阵。

2 图论法模型

　　任何管道的水力计算都可以用管段流量q\，水头损失h\，管径D\，管长L和管壁条件C等5个因素来描述。一般D、L和C为已知条件，只有q和h未知。因此，求解一个管网的水力平衡问题，可从两方面考虑：一是利用q和h的关系，消去h，以q为未知量计算，求出q后，反求h；二是首先消去q，以h为未知量计算；解出h之后，再反求。图论法也可从这两方面入手，即求弦流量式和求枝摩损式。前者只适用于环状网，而后者则适用于所有类型的管网，所以本文着重介绍后者。

　　设一管网有J个节点，P条管段，L个环，则三者满足L=P-J+1的关系。管网的每一管段都有q和h两个未知量，因而未知量的个数为2P。但管网环方程有L个，线性无关的连续性方程有J-1个，总数为L+J-1=P个，不能求解2P个未知量^［１］。因此，必须借助P个管段摩损方程式。管段摩损方程式线性化后的通式如(7)和(8)所示。系数R称为阻尼系数，Y称为传导系数。R和Y的具体形式与所选用的摩损公式有关，是D、C、L的函数。摩损公式线性化后，R还是q的函数，Y还是h的函数。不过，在求解过程中，总是把R和Y当作已知量来对待。

式中R和Y是阻尼系数和传导系数矩阵。

　　如果摩损公式采用Hazen-William公式，则有：

用h向量表示管段摩损：h表示枝摩损，h′表示弦摩损；

用q向量表示管段流量：q枝管段流量，q′表示弦管段流量。

割方程的右端项Q为脱离体所含节点流量之和。

方环程： Bf×h=0，即 [B U]×　　［ h ］　　 =0 (12)

　　　　　　　　　　 h′　　　　

割方程： A_f×q=Q，即 [UA］×　　 ［ q ］　　 =Q (13)

　　　　　　　　　　 q′　　　　

传导式： ［　　 q ］ =　　［ Y 0 ］　　 ×　　 ［ h ］ (14)

　　　　　　 q′　　　　 0 Y′　　　　 h′　　

　　求枝摩损式(以管段摩损为未知量)：

　　首先将传导式(14)代入割方程(13)得：

由环方程(12)可得Bh+h′=0，即h′=-Bh，代入式(15)得：

［U A］× ［ Y 0　　］ × ［　　　　 h ］ =Q (16)

　　　　 0 Y′　　 -Bh　　　　　　

即　　　　　　 h×［Y-AY′B］=Q　　　　(17)

根据正交定理得：　　h×［Y+AY′A^T］=Q　　　　 (18)

　　这就是图论法的求枝摩损式计算公式。h即为枝管段的摩损向量。解得枝摩损值h后，其余变量可由相应的公式求出。由环方程可得h′=-B×h，即可求出弦摩损向量h′，q、q′向量可以由式(14)求得。

式(11)中C^1.852×D^4.87/10.68×L对某一管段来说是个常数，可用W表示。则传导系数Y可以表示为：

　　在迭代计算时，第一次可以直接用W代替Y进行计算，求出h\，q后计算Y，再求新的q值，如此反复计算，直至前后两次的q值符合给定的误差标准为止。

　　为了避免可能出现的数值摆动现象，在第三次迭代时，用前两次迭代结果的流量平均值作为初始流量值^［２］，即：

求得q⁽³⁾，……，这样收敛速度加快。

3 管网附件

　　实际管网中，有许多控制、安全、量测设施，如加压泵、控制阀、逆止阀、减压阀等附件，对管网运行产生重要影响。传统计算方法都未涉及到管网附件问题，不仅使计算准确性受损，而且其计算程序无法用于日常管理工作。

　　图论法处理管网附件时，将附件所在管段视为特殊管段，这些管段的摩损式要根据其附件的水力学特征计算摩损值，再加入到管网中进行水力平衡计算。本文给出几种较常见管网附件的处理方法。对于其它附件，具体问题具体处理，在此就不一一详述了。

3.1 普通阀门 闸板式阀门是用得最多的一种阀门，在一 般的水力计算过程中，闸板式阀门的水头损失计算一般引用公式h_f=ξ×v²/2g，ξ值见文献^[3]。

　　其中，a表示管段中过水断面的高度，d表示管段直径，a/d表示阀门开关。当开度为0时，阀门完全关闭，没有流量通过；当开度为1时，阀门完全打开，对水流不产生影响。

　　将阀门水头损失公式用流量表示为：h_f=ξ×v²/2g=ξ×2q²/π²gD²

　　则阻尼系数R为：R=2ξq/π²gD²;传导系数为：Y=π²gD²/2ξ×q^-1

　　计算时只需将闸板式阀门的R或Y值加入，即可计算。

　　蝶阀的计算方法与闸板式阀门类似

3.2 逆止阀 逆止阀是管网中最常见的设备之一，是水流方向控制设备，只允许水流单向通过。