宽尾墩—消力池的简化计算方法

摘要：本文对含有分流的水跃方程的特性进行了讨论，提出了宽尾墩—消力池等效分流比的概念，利用安康等几个工程的试验资料给出了等效分流 比和E0/hk及B/B0的关系，讨论了宽尾墩—消力池优于平尾墩消力池的条件，并用算例表明了用等效分流比估算宽尾墩—消力池的跃后水深或选择宽尾墩的收缩比是非常方便的。

关键词：宽尾墩 消力池 等效分流比

　宽尾墩是中国人的创造.虽然第一个宽尾墩用于潘家口水利枢纽的挑流消能^[1]，但嗣后得到很快推广的却是宽尾墩—消力池(或消力戽)型的消能，如安康、岩滩、五强溪、隔河岩等工程^[2-5]。因此已进行过不少宽尾墩—消力池的水工模型试验，积累了许多有用的试验资料。也有少数文献，对宽尾墩—消力池的水力计算方法进行过讨论^[2、3、6]，但这些文献的基本思路都是一样的，即在建立水跃方程的控制水体上，施加反弧等对水体的作用力。但是，影响这些作用力的因素很多，因此给出这些力的较好的经验表达式是很困难的.文献^[6]对六个工程试验中127个反弧段上压力点的实测资料统计分析后，给出了反弧段上压强的经验表达式，但在有些条件下，计算的压强值对h_k的变化非常敏感，h_k变动3%，反弧末端压强的值可以有很大的差别。本文的立足点和以往的文献不同，提出了宽尾墩—消力池等效分流比的概念，通过对安康等四个工程试验资料的分析，给出了等效分流比和E₀/h_k及B'/B₀的经验关系式。利用等效分流比计算宽尾墩—消力池的跃后水深或选择宽尾墩的收缩比B'/B₀是非常方便的。

1.有分流时的水跃方程及方程的特性

　　如图1所示，底流单宽入池流量为q₁、相应的流速和水深为V₁及h₁，斜射水流的单宽入池流速和流量为V₂及q₁、它与水平线的夹角为β，跃后单宽流量为q₃、相应的流速与水深为V₃及h₃。对Ⅰ-Ⅰ与Ⅱ-Ⅱ断面间的控制体写出流量平衡与水平向的动量平衡方程，则有

ρ为水的密度，令：

把式(2)代入式(1)的第二式并除h²₁，则得

如想象全部流量q₃都以底流形式入池，即无分流，且近似认为流速仍为V₁，则想象的水深h_1p和h₁之间的关系近似为：

令Fr1为无分流时的跃前水流弗洛特数，其值是



把式(5)代入式(3)，且令

则式(3)可写成：

再令

把式(8)代入式(7)，整理后得

式(9)就是确定η值的控制方程。η值决定于分流比α、参数Fr1和k值，而k值除和α有关外，还和β等有关。

在转入研究宽尾墩消力池的等效分流比之前，先说明一下方程(9)的解的特性。

(1)α=1时k=1，表示无分流，方程(9)退化为通常的水跃方程，相应的跃后水深h_3p为

(2)对不同的Fr1、α和k值，比值h₃/h_h3p给于表1。Fr1是与分流情况无关的可以确定的量，假如分流状态比较清楚，那么根据α与k值由表1立即可得h₃/h_3p值；另一种情况是根据工程情况，规定了对h₃/h_3p的要求，则由表1可以选择适宜的分流情况。

表1 h₃/h₃^*(Fr1，α，k)

(3)当β&>90°时，k&<1/α，这时有分流时的跃后水深h₃一定小于无分流时的跃后水深h_3p。但由表1可知，对一定的Fr1和α值，存在一个最小k值k_min，当k&<k_min时不会形成水跃；当α一定时，k_min值随Fr1的提高而减小；当Fr1一定时，k_min值随α的降低而增大。当α&<1而k_min&<k=1时，h₃=αh_3p。

(4)当0&<β≤90°时k&>1/α，但仍需满足k&>k_min的要求。当k=k_c时，h₃/h_3p=1；k_min&<k&<k_c时h₃/h_3p&<1；k&>k_c时h₃/h_3p&>1。k_c值由式(11)确定

2. 宽尾墩-消力池的等效分流比α_e

　　宽尾墩-消力池、分流戽坎消力池、坝面分流窄缝—消力池，对入池流量而言都有一个共同的特点：分流。即一部分形成底流，另一部分形成挑流或跌流。但它们的分流参量往往都不很明确，不能从它的设计和水流运动直接、明确地判定分流参数α和k值。因此本文提出了等效分流的概念，相应的等效分流参数的α_e和k_e。所谓等效分流，即假想把总流量 分成两部，一部分的β=0°，另一部分的β=90°，由式(8)知，相应条件下有

这时式(9)成为

　　Fr1实际上是已知的，所以方程(13)中只含一个未知参量αe。那么αe和哪些因素有关呢?一个直观的考虑是α_e应和宽尾墩形成的附加机械能损耗有关，附加机械能损耗大，αe就小。附加机械能损耗的意思是宽尾墩形成的跃前机械能损失与平尾墩形成的跃前机械能损失之差。

　　显然，宽尾墩形成的机械能损失主要决定于比值B’/B₀(见图2)，该值越小，由于掺气等原因引起的机械能损失越大，αe越小。

　　平尾墩时溢流坝面的机械能损失和什么参数有关呢?文献^[7]推荐了一个高坝溢流坝面流速系数φ的表达式

φ和水头损失系数ξ间的关系为

由式(14)、(15)可得ξ的近似表达式为

E₀为库水面与消力池底板面间的总落差。把式(16)两边平方，再在等号右边乘重力加速度g的三分之一方g^1/3，则可得

ξ²～E₀/h_k

　　由以上分析可见，参数E₀/h_k(h_k是与q₃相应的临界水深)是影响平尾墩时水流在溢流面上能量损失的主要参数。E₀/h_k增大，相对而言溢流面上的水层变薄，水力半径减小，相对水头损失增大，改用宽尾墩后的附加机械能损失减小，从而α_e增大。

　　根据以上的考虑，构成α_e和B’/B₀及E₀/h_k的如下近似经验关系

α_e=A₁β'/B₀+A₂(E₀/h_k)^1/2　　　　　　　　(17)

　　剩下的问题是利用已知的工程试验资料，确定待定常数A₁、A₂。对安康等六个工程、21种工况的等效分流比α_e值列于表2。表中宽尾墩和平尾墩的跃后水深都是实测的，从而知道了h₃/h_3p的值，再根据Fr1值和k_e=1/α_e，利用表1确定α_e。α_e&<1，表示宽尾墩的附加机械能损失是正值，宽尾墩的跃后水深h₃小于平尾墩的跃后水深h_3p采用宽尾墩是有利的；α_e&>1，表示宽尾墩的附加机械能损失是负值(虽然增加了掺气等引起的能量损失，但是降低了由于坝面摩阻引起的能量损失)，宽尾 墩的跃后水深大于平尾墩的跃后水深，所以单宽流量小，落差大采用宽尾墩是不利的。

　表2 宽尾墩、平尾墩的第二共轭水深比较^{[2、3、6、8]}

为了清楚起见，把表2中所显示的E₀/h_k～B'/B₀～α_e关系重列于表3

表3 E₀/h_k～B'/B₀～α_e关系

注：表中的分母是按式(17)得到的计算值

　　虽然这些数据来自不同的文献，消能方式也不完全相同，个别的数据还不够符合规律，但总的趋势是非常清楚的，即α_e随E₀/h_k的降低而减小，也随B'/B₀的降低而减小。这表明当E₀一定时，单宽流量越大，采用宽尾墩越有利。

把表3中α_e&<1的10个数据点，依方程(17)，用最小二乘方拟合后得：

A₁=0.9566， A₂=0.1977　　　　 (18)

　　表3中横线下的值即为用式(17)、(18)计算得到的α_e值，在10个工况中，计算值与试验值的最大相对差为8.7%，相对差的方差根值为5.3%。

即在平尾墩情况下，如形成临界水跃，则跃后水深为28.12m。

再考虑宽尾墩情形。首先选择收缩比B'/B₀。已知E₀/h_k=9.93，为了使α_e≤1，B'/B₀必须满足下面的不等式

对给定的工况，B'/B₀须≤0.394，选择B'/B₀=0.25，由式 (17)、(18)可得α_e=0.862，把数据代入式(13)则可得相应的水跃方程为

η³-2(75.69/0.862+1/2)η+2/0.862³×75.69=0

经试算得η=12.56，所以宽尾墩时的跃后水深h₃为

h₃=η·h₁=η·h_c·α_e=12.56×2.38×0.862=25.77m，

h₃比h_3p约小8.5%。

　　当单宽流量q从100m³/m·s增至150m³/m·s时，h_k=13.19m，E₀/h_k=7.58，h_c=3.60m，V_c=41.67m/s，Fr1==7.02，h_c"=h_3p=33.95m，若仍取B'/B₀=0.25，则α_e=0.783，η=10.35，h₃=29.17m，(h_3p-h₃)/h_3p≌14.1%。

　　假如q仍为150m³/m·s，但要求h₃从29.17m降到28.0m，那么B'/B₀应取多少?因与q=150m³/m·s相应的h_3p=33.95m，要求h₃=28.0m，h₃/h_3p=0.825，Fr1=7.02，由给定的Fr1和比值h₃/h_3p查表4，内插得α_e≌0.740，B'/B₀=1/A₁(α_e-A₂(E₀/h_k)^1/α≌0.20。在表1中，查k=1/2得到的h₃/h_3p值，就是表4中的值。当然，也可以不用表4，直接设几个α_e，确定相应的h₃，再按要求确定α_e值，进而得到要求的B'/B₀值

表4 h₃/h_3p～α_e(k_e=1/α_e)～Fr1关系

3.结论和讨论

(1)等效分流的概念不仅可应用于宽尾墩消力池，也可应用于分流戽坎消力池、坝面分流窄缝消力池等消能设施。当然，不同型的这类消能方式须有各自相应的等效分流参数的经验表达式。

(2)从算例可见，无论计算已定几何尺寸的宽尾墩消力池的跃后水深，还是按对跃后水深的控制要求确定宽尾墩的收缩比，都是非常方便的。

(3)式(17)和(18)实际上也给出了用两个无因次参数E₀/h_k和B'/B₀表示的宽尾墩—消力池的适用范围。

(4)关键问题是式(17)和(18)的可靠性，即式(17)是否遗漏了其它起显著作用的参数式(17)、(18)的复盖能力如何?这些问题的答案，只能待之于今后更多的工程试验的检验。但从已有的数据看，对安康型的宽尾墩(宽尾墩靠近堰的顶部)，α_e的离散并不严重，10个数据中，最大的相对误差为8.7%，相对误差的方差根值为5.3%。