关键词：引力发散悖论；标准宇宙模型；膨胀动力学方程；无限子宇宙模型
1 引力发散悖论
从经典的无限宇宙出发，1894年，德国天文学家西利格提出了所谓的引力发散悖论。经典宇宙观念认为宇宙空间是无限的欧几里德空间，无限多的宇宙物质大体上以均匀的密度分布于宇宙中，即宇宙中物质的密度处处不等于零。万有引力定律是普适的。
下图画出了来自某小锥体中物质的引力(对质元O)。把锥体分成无数个厚度为dr的薄壳，考虑距O为r的壳，牛顿万有引力定律讲，引力与距离平方成反比，而与壳内质量成正比。即
F∝1r2，F∝m
而壳内的质量又正比于r2。即
m∝r2
因此远近不同的壳对质元O产生同样大的引力。那么，这小锥体中物质对O的总引力是无穷大。当然，对顶方向上的物质将在相反方向上也产生一个无穷大的引力。那么，两个无穷大之差是多大?这在数学上是没有明确答案的。但在天文观测中，并没有发现这种情况。经典宇宙学理论和观测事实之间的这个矛盾，就是引力发散悖论，或称西利格佯谬。
引力发散悖论的提出，直接对宇宙的无限模型发出了诘难。为了解决这一困难，人们曾提出多种有限宇宙模型，其中占主导地位的是大爆炸模型，又称标准宇宙模型。
2 标准宇宙模型
2.1 膨胀的动力学
虽然我们在宇宙中的位置没有特殊性，但为研究方便，依然把坐标原点取在我们所在的银河系。其他质元(星系)的位置由广义的球坐标r，θ和φ标记。这里用的是随体坐标，意即在宇宙运动(膨胀或收缩)中，每一质元的坐标r是不变的。它与我们的距离的变化将由尺度因子R(t)来描述。这样，纯用数学可证明，四维距离的平方总能写成
ds2=-c2dt2+R（t）2dr21-kr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2（1）
这种描写均匀各向同性时空的度规叫Robertson-Walker度规。当仅考虑到均匀和各向同性，式中的尺度因子R(t)可以是任意函数。宇宙的具体运动情况应由动力学方程决定。此外，式中还含有一个任意常数k，其大小只能由实际测量来确定。k=1时，宇宙空间的曲率为正，宇宙是有限封闭的。k=0时，曲率为零，为平坦空间。k=-1时为负曲率空间。后二者均为无限开放宇宙，这三种是理论上的一切可能。实际的宇宙只能是这三种可能类型中的一种。
宇宙介质作为引力源，它被看成均匀的理想“气体”。其物理性质用密度ρ和压强P来描述。在宇宙膨胀或收缩的过程中，随尺度因子R的变化，密度和压强也将在变化。也就是说，ρ和P也都是时间t的函数。考虑到所有有关的物理量都只与时间有关，而与空间点无关。所以所得到的必定是一组简单的常微分方程。
把宇宙的Robertson-Walker度规代入爱因斯坦方程
Rμγ-12Rgμγ=-8πGc4Tμγ（2）
中，在适当整理后，得出两个常微分方程如下:
2+k=8πG3ρR2（3）
=-4πG3（ρ+3P）R（4）
这里，我们采用c=k=h=1的自然单位制。
把(3)式两边对时间求微商，曲率因子k将不在出现。然后与(5)式联立消去R，即可导出
d（ρR3）=-Pd（R3）（5）
由上式可知，宇宙膨胀(或收缩)时，坐标r固定的求内的质量(即能量)的贡献。因热运动速度远小于光速，所以对实物有P&<&<ρ。人们常把这性质写成P=0，叫实物的物态方程。这样易于从(5)式解出
ρmR3=常量（6）
我们对物理量加下标0代表今天的值。利用
ρR3=ρ0R03（7）
(3)式可重写作
R02+KR02=8πG3•ρ0R0R（8）
用于今天，可得到一个代数关系
H20＋kR02=8πg3ρ0（9）
其中H0是哈勃常数。用k和H20作为输入参量。当k=0时，由(8)式可得
R(t)R0=3H0t22/3（10）
这是一个很简单的关系:时间增大三个量级，则尺度因子增大两个量级。
宇宙膨胀的加速度常用一个无量纲量
q=-R/2（11）
来描写。q被称为减速因子。
哈勃常数H0和减速因子q0均为可观察的量。当H(t)&>0时，宇宙是膨胀的。H(t)&<0时，宇宙是收缩的。通过对遥远星体的红移观察，哈勃常数最佳估计近似值为55±7公里/秒。所以，宇宙是膨胀的。
2.2 有限的宇宙
利用哈勃常数H0是可观测的量，定义一个密度量纲的量
ρc=3H028πG（12）
它也是能用观测确定的量。把H0写作
H0=100h•km•s-1•Mpc-1（13）
H0的不确定性表现为
H=0.5～0.8（14）
它实际上是以100km•s-1•Mpc-1为单位的无量纲哈勃常数。这样，ρc的大小为
ρc=1.9h2•10-29g/cm3（15）
引入了ρc，由（9）式可以得到
3k8πGR02=ρ0-ρc（16）
从上述关系式可以看出，若今天的宇宙密度ρ0比ρc大，则表明曲率因子k是正值，即宇宙封闭有限，反之若ρ0等于ρc或比ρc小，则表明k是零或负数，即宇宙开放无限。ρc是这判据中的临界量。因而它被称为临界密度。
2.3 热大爆炸模型
如果宇宙在长时间内一直膨胀着，那么物质密度就一直在逐渐变稀。往前追溯至尺度为今天的百分之一时，宇宙密度将达到今天的106倍，超过了星系的密度(约为今天宇宙密度的105倍)，于是星系将挤在一起。实际上，它们不能存在。由此可见，宇宙的结构在某一时间之前是不存在的，它只能是演化的产物。
在没有结团之前，宇宙一大片由微观粒子构成的均匀气体。在热平衡下有均匀的温度，称为宇宙温度。气体的绝热膨胀将使宇宙温度降底。反之，往前追溯，越早的宇宙就有越高的温度。这样，甚早期的宇宙就应当是温度很高，密度很大的气体，它以很大的速率膨胀着。可以设想宇宙诞生的时候，物质密度为无限大，这时，空间是高度弯曲的，能量集中为引力能。随着宇宙的膨胀，引力能逐渐转化为粒子能，从而产生各种各样的粒子。这个大爆炸模型由于只用了已知的物理学规律，非常简单地描述了宇宙的性质、运动和演化，并得到了观测事实的支持，现在已为大多数学者所认可，称之为宇宙学的标准模型。在这个模型中，空间是与物质联系在一起的，爆炸的含义是空间本身在膨胀，并不是说有一团物质在已经存在的空间爆炸碎裂而散开。
3 有限宇宙的困难和引力发散悖论的进一步讨论
3.1 有限宇宙的困难
大爆炸模型是建立在有限宇宙基础之上的，而有限宇宙则存在“蒸发”和最后开放式爆炸而死亡相矛盾。
爱因斯坦在批驳恒星宇宙是无限空间海洋中的一个有限岛屿时写道：“它导致了下述结果：从恒星发出的光以及恒星中各个个别恒星不断奔向无限的空间，一去不返，而且永远不再与其它自然客体相互发生作用，这样一个有限的物质宇宙将注定逐渐而系统地被削弱。”
然而，有人提出（如Gurk），宇宙本身就是最终的黑洞，这样似乎一切物质都不能逃逸出去了，宇宙可以是有限的。其实不然，因为黑洞也还是要向周围“蒸发”物质的，随着黑洞不断发射粒子，它的质量和大小将逐渐减小，这终将使黑洞因辐射耗尽而不复存在。
这种蒸发过程也符合热力学第二定律，如果宇宙是有限的，热寂说将成为可能，由热力学第二定律
ds≥dQdT(17)
在绝热过程中，dQ=0。则上式ds≥0，即在绝热过程中熵永远不会减少，对于可逆过程，系统的熵不变，对于不可逆过程，系统的熵增加。如果宇宙是有限的孤立系统，那么宇宙的发展过程就是一个绝热过程，也就会出现克劳修斯所说的“宇宙的能量是不变的，宇宙的熵趋于极大值”即“热死”来临了。
在宇宙的年龄问题上，标准模型也不能够很好地解决，当英国物理学家米尔恩用标准模型计算宇宙的年龄是二十亿年时，可是地球的年龄比它还大，当人们又计算它的年龄为100亿年时，可在远离我们200亿光年的地方发现了类星体，加上类星体的年龄50亿年，这样宇宙的年龄至少为250亿年，这显示了标准模型的基本些不适当因素。
有限宇宙的困难说明了它的无限，然而这又使问题回到了本文开始所述的有限无限之争而出现的引力发散问题上来了。
3.2 引力发散的进一步讨论
在无限宇宙模型中，牛顿引力理论是需要作适当修正的，物质通过交换吸引子相互吸引，对于无限宇宙，每视线方向必然存在任意多恒星和不发光物质，这样引力场就要逐步被吸收，衰减是必然的对频率为ω的引力子的吸率为
A(ω)=8πG5hω3∑(a，b)U2abNaNb
U5ab∫dσabdΩsin2θdθ(18)
由于吸收作用，有限物质在无限远处的引力势必然为零，如果宇宙的物质是分布均匀的，各向同性的，有限物质的引力势范围应是一个有限的球。我们可以取修正的牛顿势为:
=Aexp（-r/λ）r(19)
它随距离的增加比牛顿引力理论更快地减小，这样牛顿理论的困难就克服了，宇宙是无限的，然而对某一点的引力势作贡献的物质是有限的。
4 宇宙的无限子宇宙模型
宇宙是无限的，大爆炸也属可能，这二者似乎矛盾。其实它们同时存在是那么的和谐自然，大爆炸宇宙学所描述的有限宇宙不过是无限宇宙中无限个孩子-子宇宙-中的一个。这无限多个子宇宙也包括封闭与开放三种形式，以及反物质子宇宙（也应有上述三种形式）。子宇宙之间距离极大，使得子宇宙本身成为近孤立系统，大爆炸所需状态条件得以满足。这样，宇宙的无限和大爆炸就自然和谐地统一起来了，在子宇宙之间稀疏存在从场、基本粒子到尘埃物质，从恒星到星系等暂不属于某一子宇宙的物质形式。
各子宇宙之间仍存在一定的联系，微弱的引力，相互射出的光子，及各种基本粒子，乃至于宇宙由膨胀到收缩过程中由于速度涨落而逃逸的单个星体，星系等。
这一模型既可以解释大爆炸模型可以解释的哈勃红移，2。7k背景辐射，氦丰度，天体年龄等观测事实，又可以解决有限宇宙模型不可避免的蒸发和开放式爆炸而死亡的困难。同时还解决了宇宙中正反物质不对称的困难。
和其它宇宙模型一样，无限子宇宙模型只是一种近似，必然存在某种局限性，这是面对无限的宇宙，我们对它了解的实在是太少的原因。宇宙是无限的，为一定时间和空间所局限的人所认识的宇宙是有限的，不断探索观察，扩大视野，修正模型，才可能逐步趋近于被认识的无限宇宙的真面貌。
参考文献
［1］赵侃士.牛顿的宇宙和西利格佯谬［Ｊ］.湖南师范大学自然科学学报，2001.
［2］于秦生.宇宙因子A的成因［J］. 安庆师范学院学报（自然科学版），1995.