高初数学相结合的几个应用分析

摘 要：近十年来，我国的基础教育已经从应试教育转向了素质教育。对于数学教育科学而言，提高学生素质和数学教学质量的关键是数学教师的素质。在数学教学中，在新课标体系下，高初结合越来越受到重视。本文通过高初结合在数学教学中的几个应用，说明加强高初结合不仅可以提高数学解题能力，还可以指导数学教学和提高学生数学素质的水平。
关键词：高初结合；高等数学；初等数学

　　一、引言
　　近十年来，我国的基础教育已经从应试教育转向了素质教育。对于数学教育科学而言，提高学生素质和数学教学质量的关键是数学教师的素质。通过多年来的教学经验和大量的事实表明，通过高初结合可以更好地把握数学知识的深度，了解数学问题的背景和实质，能够从更高的角度俯瞰初等数学及其教学，提高数学教师的数学素质和数学解题能力，更好地把握初等数学教学。因此，笔者认为，数学教师必须要研究且明白：高等数学与初等数学之间在数学教学中究竟有哪些内在的联系？应当采取哪些方法和途径使学生能够真正在数学教学中做到高初结合？
　　二、高初结合在数学教学中的几个应用
　　高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，前者是后者的延续和补充，如《高等几何》、《高等代数》就分别是在《初等几何》、《初等代数》基础上逐步发展起来的。在数学活动中，有的人往往错误的认为它们是各自孤立的学科，因而难于综合运用各门知识，可以说，这样的执教思想将遗憾终身，甚者对学生形成了不正确的数学观念。
　　1、通过高初结合，可以用高观点指导初等数学教学
　　许多教育家提出：数学教育的目的是培养学生的数学观念，把数学科学理解为一个巨大的相互联系的整体，应该说是：“数学观念的核心”。而对于教师来说，应具备较高的数学观点，那样对高等或初等数学问题就能“轻车熟路”、“得心应手”了。理由是，观点越高，事物越显得简单。比如，高等数学中的集合、映射观点可以进一步提高初等数学中对函数的认识。运用极限的方法，利用微分学和级数中初等函数的Taylor展式，更加深了对初等函数的性质及运算的认识。
　　
　　从这个例子可以验证初等数学中的指数运算法则ex.ey=ex+y。因此说，运用高等数学知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明。再比如例2：在初等数学教材中，对数的定义是：如果a^n=b，则log(a){b}=n ，那么n叫做以a为底的 b的对数。这个定义本身没有回答这样一个问题，b是否存在？若存在是否唯一？这个问题是初等数学本身回答不了的。掌握了高等数学的知识就可以很快的得到解决：已知底数和幂的值求指数的运算，在一定条件下，运算结果的条件性和唯一性是由对数存在定理保证的，即：如果正实数a不等于1，那么就对于任意给定的正实数N，有唯一的实数，使a的次幂等于N。所以，笔者认为，作为合格的中学教师，只有学好高等数学，才能用高等数学的理论和方法去指导初等数学的教学和研究，通过高初结合，运用高观点指导初等数学的教学，是培养学生数学思维能力的良好教学手段，可以使学生经“高初结合”的思维启迪而收到事半功倍的效果，从而掌握坚实的初等数学基础理论。因此，教师只有站得高才能看的远；只有做到心中有数，才能引导学生安全度过艰难险阻。
　　2、通过高初结合，可以对初等数学问题进行多题一解
　　多题一解的数学教学方法可以培养学生的创新思维以及训练学生的发散思维，提高他们各方面的素质，使学生对所学的内容更加感兴趣，感到一切都是通过转化成已经解决的问题来达到解决新问题的目的。在日常的数学教学中，我们常常发现很多教师和教研单位特别注重一题多解的解题方法，重视数学问题的一题多解固然值得提倡，但事实上，重视数学问题的多题一解也是十分重要的。在解决初等数学问题时，我们只要找到初等数学问题与高等数学之间的联系，也就是找到高等数学的背景，就可以类比法解决一类数学问题。例如：在初中涉及到解二元一次方程组，作为一名教师应了解二元一次方程组解的情况，对一个二元一次方程组在什么情况下有唯一解，无解或有无穷解，并能阐明产生上述三种情况的原因。而只有学习了高等数学中的线性方程组解的理论，才能对这个问题有本质的认识，把教材内容讲清楚。
　　3、通过高初结合，探讨高等数学问题的初等解法
　　初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。从初等数学的角度来思考高等数学中的问题对于高等数学的学习非常重要。这种思维在培养学生观察分析能力的同时，可使学生将所学数学知识融会贯通，提高学生的数学素养。从另一个侧面反映了初等数学与高等数学的联系，为解决数学问题提供了思想方法，同时，也可以看出打好初等数学基础的重要性。 免费论文下载中心 　　例如：高等数学的“求最值问题”，目标函数m=xy+yz+zx，约束条件
　　x2+y2+z2=1，我们可以用初等数学的办法解题：由xy+yz+zx≤x2+y2+z2=1得知，当x=y=z时，xy+yz+zx= x2+y2+z2=1，m取得最大值为1.
　　用初等方法还可求得m的最小值：由题意可得：m=1/2[(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2-2]≥-1，若m取得-1，则 ，但此方程组没有非零解，由初等公式可得m= xy+yz+zx=1/2[(x+y+z)2-( x2+y2+z2)]=1/2[((x+y+z)2-1]，当x+y+z=0时，m取得最小值-（1/2），且 。由此该目标函数不但有解，而且有无数组解。
　　类似上面这样的例子很多，在这不用一一列举。因此，在高等数学教学中，运用“联系的观念”去联想高等数学与初等数学知识系统间的关系，通过比较分析，容易得到一个共识：一方面在讲授高等数学新知识时应当尽量联系初等数学的相关知识作基础，灵活运用类比法去讲授高等数学新概念及新结论，往往收到事半功倍的理想效果。
　　三、建立科学合理的对策和数学教育评价体系
　　教育教学改革是当代中国教育的主题。对此，加快数学教育改革的进程，就要适当借鉴先进国家的经验，制定出适合我国实际情况的教育制度，充分调动各种教育资源的潜力。笔者认为，当前迫切建立科学合理的教育教学质量评价，探讨适应改革创新的社会潮流，具有时代特征的高等数学和初等数学教学相长的模式。在高师数学教学课堂中，教师应该走有意识地加强高初结合的高等数学教学改革的一条新路。
　　1、加强高初结合的专题研究，充分认识高初结合的重要性
　　用数学的意识是一种重要的数学素养，应是每一个公民都具备的素质。长期以来，高等数学课程与初等数学课程存在着比较严重的脱节现象，对培养具有高素质的人才十分不利，因此加强“高初结合”问题的研究与实践是十分必要的。使广大师生充分了解高初结合的意义，自觉地加强高等数学与初等数学之间的研究，从而对“高初结合”有一个正确全面的理解。同时，通过研究，充分挖掘高初结合的内在联系，自觉地从理论观点上予以提高和加深。
　　总之，要搞好高等数学与初等数学的衔接和整合，必须牢固树立素质教育的思想观念。
　　2、规范数学教育评价的环节
　　高科技本质上是数学技术，数学已经渗透到整个社会。全社会，特别是广大教育工作者应以长远的眼光，切实关心“素质教育”的实施过程。学生素质的高低往往体现在公平的评价体系中，在数学评价过程中，我认为必须注意一下几点：
　　第一，数学教育评价与数学教育目标的关系是循环促进关系。第二，数学教育评价是联系的，动态的过程。第三，数学教育评价更多地是依据实际情况的协调而不是专家的鉴定。第四，在数学教与学的评价实践中要注意评价信息收集，在评价方式、评价角度、评价结果等方面做好改进。
　　3、积极探索高初结合的途径，培养学生的创新意识
　　高等数学是一门基础课，应用性很强，我们应当努力把握其特点，寻找高初结合的切入点，从而既让学生掌握高等数学知识，又培养学生“居高临下”的能力。此外，在有关初等数学课程中应用高观点分析、研究问题，使高初结合落到实处。例如，在《初等数学研究》课程中，注重初等数学与高等数学思想方法的结合，不要只顾单纯的解题。只有让学生从观点上把握知识的深度，才能从更高的角度俯瞰中学数学及其教学；在《数学竞赛研究》课程中，寻找竞赛题的高等数学背景以实现高初结合。
　　同时，教师在课内外更多的进行有关的课题研究，通过对高初结合的探索，我们可以得出包括如何用高等数学知识、思想和方法去联系、分析和解决初等数学中的某些内容的专题，并通过数学的教学实践，培养和提高学生高初结合能力，使之不但学会应用所学的高等数学去深入理解中学数学，还能具有提出、研究和解决中学数学问题的能力。
　　创新是一个民族进步的灵魂，创新意识是创新能力的灵魂与基础。胡锦涛总书记曾指出:“科技创新能力是一个国家科技事业发展的决定性因素”。我们在探索研究数学技术的过程中，教师首先要引导学生从教材中发掘小题材，自己寻找高初结合途径进行解决问题。导师提出问题，尤其是系统地介绍并探讨进行高初结合研究的方法与途径，提出高初结合的一些问题与课题，并适时地作一些启发，尽可能地让学生自己摸索，以激发学生的学习兴趣，引导学生对高初结合问题的探讨，以培养他们运用高初结合研究问题的能力。除此之外，我们为了加强高初结合，可以组织高等数学或初等数学的学习兴趣小组，学生可从事一些力所能及的研究工作，撰写研究报告或小论文，使学生具有初步创新研究意识，从而具备独立、自觉地研究数学问题的能力。
　　四、结束语
　　高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，初等数学中的一些思想方法至今仍在高等数学中起着非常重要的作用，而初等数学的研究对高等数学的发展也起了很大的促进作用。因此，加强高初结合是高师数学课程改革的重要课题之一，是提高中学数学教师素质的一条有效途径。同时，高初结合是一个很值得研究的课题。我们应根据数学教育改革发展的需要，有机地进行高初结合的研究，大量搜集高等数学与初等数学有机结合的实例。通过高初结合的研究，切实提高学生的数学修养，使学生能够居高临下，全面提高中学数学的教学质量和水平。
参考文献：
[1]余元希，田万海，王宏德编著.初等代数研究[M].高等教育出版社，1994年.
[2]萧树铁.高等教育改革研究报告[J].数学通讯，2002年.
[3]同济大学数学系编.高等数学[M].高等教育出版社，2007年04月. 免费论文下载中心