论概念联系与概念网络在数学概念学习中的作用

摘要：数学概念之间具有联系性，任一数学概念都由若干数学概念联系而成；只有建立数学概念之间的联系，建立数学概念的不同表示之间的联系，才能透彻理解数学概念；概念学习实际上就是通过建立概念之间内在的以及概念的不同表象之间的各种联系，使之形成概念网络。只有透彻了解概念联系与概念网络的含义、特征、类型、对数学概念学习的影响，才能有效地进行数学概念的教学。

关键词：联系；网络；数学概念；学习

数学教育研究者已逐渐认识到，数学概念之间具有联系性，任一数学概念都由若干数学概念联系而成；只有建立数学概念之间的联系，建立数学概念的不同表示之间的联系，才能透彻理解数学概念。概念学习实际上就是通过建立概念之间内在的以及概念的不同表象之间的各种联系，使之形成概念网络。

一、概念联系

（一）概念联系的含义

“概念联系”可分为两种：不同概念之间的联系与同一概念的各种联系。这两种联系又各有数学角度的联系与心理学角度的联系。这些理解互有重叠，有时互相冲突，因而给“联系”的理解与建立带来困难。

1.不同概念之间的联系。因为学生大多接触的不是一个独立的概念，而是以某概念为中心的一个概念群，所以，建立概念之间的逻辑联系就十分重要。这些联系包括数学中各种关系（运算、逻辑连接、变换等）以及各种抽象（强抽象、弱抽象、广义抽象等）。从心理学角度看，这些不同概念之间的联系，表现为数学概念的意义是从多种情境中提取出来的，但是，要分析每一种情境又不能只用一种概念，而要用到好几种概念。这就是“概念域”的思想。因此，“学习概念不是学习一个个孤立的概念，而同时是建立众多概念之间的联系”，“每一概念都具有一定的复杂程度，特别是，只有在与其他概念所形成的网络中才能全面理解它”。^[1](125)

2.同一概念的相关联系。在数学上表现为同一概念的内部逻辑结构、同一概念和各种等价表示之间的联系以及与具体模型相联系的外部表示之间的抽象。在心理学上表现为三种联系，即所谓的外部联系、内部联系、内外联系。外部联系指同一概念的不同表示（图形的、符号的、语言的、实物的）之间的联系。内部联系指内部表征将表象进行相连的内容，包括不同心理表征之间的转换并进而整合出概念意象。这种联系也是对外部概念表象进行辨认、识别、加工的过程。它是一种动态的、变化的、活跃的、没有结构的、不牢固的过程，具有场性、弥散性、歪曲性。如何建立外部的学习内容与内部的认知结构之间的联系（内外联系），一直是数学教育的研究课题，也是教育心理学研究的重要内容，皮亚杰、奥苏贝尔、布鲁纳、建构主义学说已有很多理论与假设。但这一切都是建立在假设“学生内在已有一个认知结构”基础上的。内外联系实际上是思维的转换，包括监控、调节、组合、评价、决策等，指从内部网络中排出序状的联系提供给外部，同时把外部的内容转换给内部，激活内部相应的网络。这是对概念内外联系的一种理解。

概念的内外联系还表现为外部表示形式与内部的表示之间的转换上。这就是Gerard Vergnaud提到的被表示物（思维对象）和表示物（外部表示）之间的联系。这些联系尤其表现在外部语言、书写记号所构成的外部表示系统与学生个人的内部表征形式之间的联系上。“书写的记号必须在内部表示为数学的对象而不是在纸上代表了别的东西的记号”。^[2](147)

关于概念内外联系的第三种理解是社会建构主义的思想。鉴于过去研究只是对概念的“客观意义”（教材中的标准定义）的把握，这种理论提出对概念的理解要从“主观”的角度进行，“理解一件事物表示把这件事物同化入一个适当的schema之中”，^[3](36)从而获得该事物的确切的意义。究竟如何才能使“外化”了的数学对象重新转化成思维的内在成分呢？“显然，这并非是在头脑中机械地重复有关对象的形式定义，而主要是一个意义赋予的过程，也即应当把新的概念纳入到主体已有的认知框架之中，从而成为可以理解的和有意义的”。^[1](94)实际上，所谓的内外联系就是个体对外部的解释过程，使外部内容变成个体的内部网络的一部分。

（二）概念联系的方式

由于对概念的联系的理解有多层意义，因而有关概念联系的方式也是多样的：1.在不同概念之间，从数学角度看，联系的方式有抽象，包括强抽象、弱抽象、广义抽象等。从心理学角度看，不同概念之间的联系还包括描述、类比、比喻等。2.对于同一数学概念，从数学角度考察，外部不同表示之间的联系方式有变换，系统内为等价变换，系统之间为同构变换，非系统之间有拟同构变换（含比喻、类比等）。从心理学角度考察：“同一概念的不同表示形式之间的联系通常是基于相似关系和判别关系”，在建成概念内部网络时，其内部联系包括包含关系与归类关系等。^[2](134-140)

（三）概念联系的特征

概念联系的特征与联系的含义紧密相连。反映数学概念形式化、结构化方面的联系实际上是数学的关系与抽象，这些联系是稳定的。而反映数学概念的各种表象之间的联系，又多与变换紧密相连，它反映数学概念心理表征的特征，这些联系是活跃的、变化的、不稳定的。这里只讨论后一种概念联系的特征。

1.概念联系的灵活性

数学概念的内部联系并不是呆板的、机械的、固定的，而是灵活的、变化的。这种灵活性表现为对“熟悉”概念能迅速建立联系，对“陌生”概念采取“回避”的态度。在学习运用中，常常自觉地与距离较远的熟悉概念建立联系，而不愿与较近的陌生概念建立联系。因此，在内部表征中，每个学生的概念网络也不相同，在理解概念与运用概念时，各个学生启用的“联系”也有很大的差别。

2.概念联系的稳定性

概念联系的稳定性指概念之间的联系程度有强弱之分。相对来说，每一概念都由一批与之有较强联系的概念支持着。对于不同学生来说，这些概念是不同的。然而，联系程度较强的概念愈丰富，所建立的概念就愈容易理解。在数学概念学习中，有一些概念容易发生理解困难，究其原因，可能与同这个概念联系密切的概念太少有关。研究表明，建立一个概念的稳定网络有利于概念的学习与理解，但也会造成理解的障碍。这是由于联系较强，网络相对稳定，定势不易打破，会带来发展变化上的阻碍，影响新的概念学习。

3.概念联系的变化性

概念联系几乎随概念与背景的改变而发生变化。同样，一种联系在不同的两组概念中的作用差异很大。当概念本身的内容发生变化时，概念之间的联系也发生变化，包括联系的强弱程度、距离长短的选择等。当新的联系建立后，原有的联系会自动地改变或消失，但在建立新的联系时，旧有的联系在起促进作用的同时，也阻碍着新的联系的建立。

4.概念联系的整合性

概念之间联系的灵活性、变化性、稳定性，并非是自由散乱的，而是有目标的，它们时刻保持系统的整合性。调查表明，当学生接触一个数学概念时，即使他只建立极少的联系，也会由这些联系整合出概念的一个表象来，尽管这个表象是不完整的、扭曲的、错误的。在概念表征调查中，有大量的事例可以说明这一点。这种自觉的整合有利于整个概念的获得，随着新的联系的建立、不断整合，概念便不断获得新的理解，进而达到完善。然而，这种整合，也会造成过早的不恰当的表象建立，造成学生理解上的滞停或错误。

5.概念联系的生长性

学生学习是主动建构的，而非被动接受已经形式化的内容。这种建构是通过和外部的表象的不断联系来完成的，“学生创造出自己的内部表示和建立自己的表示网络，学生在构造过程中关键的一面是他们的创造发明”。^[2](152)实际上，学生在学习过程中，会不断地发明出许多方法，这些方法“聪明”地建立与外界的联系，并“巧妙”地建立自己的内部联系与网络。在概念表征的调查中，我们见到学生很少论述概念的形式定义，他们创造出各种巧妙的表征概念的方式，建立概念之间的联系。这种发明对学生学习概念具有积极作用，发明使得概念联系具有生长力或繁殖性。然而，联系的生长性、理解的创造性发明，也有其消极的一面，学生会根据已有的经验，盲目地进行发明创造，建立不恰当的联系。例如将实数概念推广到复数中去，在｜x｜的调查中，学生把实数中的性质推广到了复数中。在差生的概念表征中，许多错误就在于建立这种错误的发明，使联系错误地不恰当地生长着。

6.概念联系的相依性

概念只有在概念网络中才能获得意义，单独一个概念是无法理解的。概念联系也是这样，它们必须在与概念相连的网络中才能存在。概念之间的联系、概念内部表象与外部表示之间的联系都依赖于整个网络的丰富与灵活程度。单独的或少量的联系是无法存在的，而且容易发生改变，这时与之相联的信息也容易变质。相反，当一个信息与一个较大的网络建立丰富的联系时，联系可得以存在，与之相联的信息才容易得到恢复。概念是靠概念间联系建立的，而联系又同样依存于它所联系的概念之间。

二、概念网络

（一）概念网络的含义

关于概念网络（concept network）的理解也是在多种意义下进行的。第一类是关于知识逻辑建构的系统，这是相对稳定的。第二类是心理内部表征的系统，是比较灵活的、变化的，是一种过程。本文只讨论后一类。这一类又含有两种意义。一种是思想，即概念是与各种概念或其他事物、背景相联系的整体。概念不是孤立的，而是处于一个复杂的联系的系统中。谈及概念时，不仅指一个词，一个对象，也指激活有关这个概念所在的一个网络系统。皮亚杰的认知图式、认知结构理论也含有这种思想。另一种是具体建立的各种内部表征的网络模型（network model），用以解释概念内部表征。现代认知心理学中广泛使用的是语义网络或符号网络模型。“符号—网络模型中的概念通常用节点（nodes）来表示，这里所显示的节点通过箭头与另一个节点联结。这个简单的规定表明概念之间所有可能的联系”。^[4](155)如下页图就是符号—网络模型的一小部分，“为了表示记忆中的概念，图形给出两种东西：框面和箭头，框面表示概念”，箭头有两个重要的特性：“第一，它们是有方向的”，方向不同，理论意义不同；“第二，它们是有名称的，至今有三类名称──特性、例子和类别”。^[5]

现代研究者反复提醒，概念内部的网络不同于外部知识的形式网络，尽管他们不得已用语词或符号来描述这种网络，“虽然我（们）所看到的所有模型好像都由词和箭头组成，但是节点被认为是表象概念而不是词……心理事件的表象（不是复制），一定比单词本身复杂得多”。^[4](155)现代认知心理学通过大量研究证实：“在几乎每一个从永久记忆的提取活动中都包括情景记忆和语义记忆”。^[4](156)将概念的相关性信息用上面的图逐级相连，便形成记忆或内部表征中有意义（语义）的各成分之间相互联结的网，这就构成概念网络。语义网络是通过指示符或关系把节点彼此相联结而成的。

（二）概念网络的形式

概念网络的模型有多种，如TLC层次模型，激活—扩散模型等。TLC网络模型认为，“贮存在知识系统里的信息是由单位、特征和指向联结所组成的，并以分层形式构成网络”。^[7]语义知识便可以表征为一种由相互联结的概念组成的网络。而这个网络又是具有层次性的。层次网络模型对语句的加工，主要通过搜寻，即将语句中所涉及的主项概念与宾项概念放入记忆网络，寻找这两个节点联结起来的通道，看与语句中的论断是否相符。

针对TLC的缺点，激活—扩散网络模型认为，“第一，联结两个概念的直线长度具有理论意义，直线越短，概念联系越紧密。第二，类似于TLC，激活扩散模型假设上级关系以‘是一种’联结来表示，……然而这个模型比TLC先进在于它也包括一些‘不是一种’的联结”。^[4](161)这种理论表明，在回答某问题时，首先进入有关语义网络中，使一个节点得以激活，激活的节点又向外激活其他概念节点。首先被激活的是与这个概念关系密切的直接相连的节点，然后又激活与之相连的节点，形成扩散的网络。同时，这种理论也表明，在学习与搜寻概念时往往并不是按TLC网络那样进行逐级逐层搜寻的，有许多关系的知识是在网络中直接预存的，以避免扫描记忆。这实质上与传统的认知心理学中的图式意义有些相近。在新手与专家的概念学习上，往往就体现这种层次搜寻上的差异，专家往往是对“块”进行搜寻，而新手往往是对单个概念进行搜寻。

在数学教育研究的现代文献中，有关概念网络的思想多与这两种模型有关。对于内部的联系，研究者提出：“当建成了概念的内部表示之间……关系时，就会产生知识的网络”，“网络可以像垂直的谱系或是像蜘蛛网一样的结构，当网络的结构像谱系那样时，有些表示法包括其他的表示法作为更一般的内部的或下面的细节”，当网络的结构像蛛网时，“节点就可以认为是所表示的各条信息，而中间的线就是它们的联系或关系。……蛛网中的全部节点最终是联结着的，因而就可以按照已建立了的联结在它们之间漫游”。^[2](134)这实质就是TLC模型和激活—扩散网络模型的渗透与运用。从纵向和横向对网络进行分析，纵向（谱系）反映层次，反映不同水平（集合）上的概念，横向（蛛网），反映同一水平上的结构，构成同一水平上整体网络结构。纵向反映着抽象、凝聚等特征，横向反映着等价、同构等变换。两者之间的联系也有本质的不同。在前述文中，我们提到过概念→概念群→概念域→概念系统的思想，也可以视做层次与结构的思想。

综上分析，关于数学概念网络的形式，我们可以给出下述五种模型。

（三）概念网络的特征

针对数学概念的特征，数学概念网络具有层次性、灵活性、兼融性、相依性、生长性。

1.层次性。数学概念内部网络尽管反映的是概念的内部表征，其中概念的节点可以是表象等非形式成分，联系也未必是数学关系，可以是比喻、模拟等关系。但这个内部网络在不断整合中仍是清晰地反映外在数学概念网络的，因而它具有层次性、结构性。概念网络是有层次的，每一个网络都由若干层次低的小网络组成，而这个网络又与其他网络相联系，构成高一层次的网络。皮亚杰也阐述过相关思想：“每个图式（schema）同所有其他图式相协调，而每个图式本身又是由已分化的部分组成的整体。”^[7]

2.灵活性。数学概念内部网络并非形式化的逻辑网络，它随着联系与结论的不断变更而及时发生变化，及时进行调整，以适应新的情境。这种网络随时都在变化，然而这种变化在优秀生那里，表现为整个网络有顺序、有目的地进行调整改变，变而不乱。在差生那里，由于许多联系的缺漏或脆弱，这种网络在变化时就容易破损而发生错误。

3.兼容性。对于节点所建立的新联系，或联系所产生的新结点，每个结点与联系的意义更新，网络将及时主动进行改变，使之与新的意义相适应，这就是网络的兼容性。这种兼容性，表明对概念的理解程度，不可能出现“空白”或“全部联系”的网络。即在学习概念过程中，所谓全部或全无现象不可能存在。由于学生不能迅速兼容新的节点与联系，所以在概念学习中常常会出现滞停或分离的现象。例如角的概念，学生往往不能将角的数值与图形合为一体，而是把二者分割开。

4.相依性。网络是依赖于更小网络而存在的，最终依赖于节点与联系。因而概念依赖于网络才能获得理解，而整个网络又依赖于概念的联系的建立才得以建立，二者是相互依赖的。前面已多次说明，建立概念网络的节点和联系并非是数学中形式化的名称、符号或关系，而是丰富的概念表象、意义与联系。要想获得概念网络，就必须建立概念的各种表示。只有建立概念内部表征等之间的联系，才能使“节点”内容丰富，才能使联系密切，才能使概念网络丰富而灵活。否则，仅建立形式上的所谓网络，或是用形式化的逻辑体系代替内部网络，使整个网络成为僵化的稳定结构，学生难以理解概念，从而为新的概念学习造成障碍。

5.生长性或繁殖性。概念网络具有生长性，表现为：一是上述已论及的概念学习中，随节点、联系的生长，网络随之改变而丰富。二是随着网络的增加、兼容，也使后来的网络产生了增长。学生学习因式分解，在实数范围内所成网络到复数范围所成网络，就发生了增加扩大。学生学习式、方程、函数后，把三种网络相并也形成了网络的增加。三是网络的重组也使网络获得生长。“经过全新组织后形成了新的联系，而旧的联系可以作改变或被抛弃。新的关系建立起来后可能强迫受影响的网络形成一个重新的构成。……最终，随着重新组织产生更丰富的，联系着的，有凝聚力的网络，理解就增长了”。^[2](141)

三、概念联系与概念网络对数学概念学习的影响

由于对联系的含义的认识不同，对怎样建立概念联系形成概念网络有不同的观点。一种观点是把联系看作是内部的或内外结合的。认为教学应着重从给定的数学概念或方法含义的问题导出的联系出发。另一种是把联系看作是外部的，认为讲授应基于数学结构的分析方面。以杜威及布鲁纳为代表的思想反映为前者，而以奥苏贝尔及加涅理论为代表的思想则反映后者。“奥苏贝尔的著作的中心前提是讲授开始时应先指定主要概念是如何相互联系的，并和学生们所已经知道的内容相关联，而布鲁纳则认为通过解题而发现关键的关系，由学生们自己构成联系，从而可获得解题用的相关知识”。^[2](181)这实际上给出建立联系和网络的两种区别，一种从外部的联系，通过外部方式给出联系与网络。它的优点是可见的、稳定的、逻辑的、清晰的，缺点是单调的、被动的、机械的、形式化的。另一种是通过内部自我联系去建构外部结构之间的联系，形成丰富的内部表象系统，优点是丰富的、主动的、非机械的、非形式化的，缺点是不可见的、可变的、直觉的、模糊的。

由于出发点不同，所建立的理论就有很大的差异，所以导致数学概念的教与学理论也有很大差异。我们看到，奥苏贝尔点认知固着点、“建立非人为的实质的联系”等观点在对数学学习有较大影响的同时，也暴露了它的弊端。这种理论忽视了人的主观能动性，忽视了内部的联系，只从结构上进行转换。学生学到的只能是机械性的知识，更多的概念联系将无法用“同化”学到。这是因为，概念内部联系中的许多内容是无法通过“同化”得到的。

根据上述分析，关于数学概念学习过程中概念联系、概念网络的建立，我们有以下建议。

1.内部联系、外部联系、内外联系是融于一体、不可分割的整体。概念的逻辑体系，外部各种表示（实物、图形、语言、符号），内部的各种表征（表象、定义、言语）之间的联系应当充分建立，才能透彻地理解概念，获得概念的真正意义。过分强调一个侧面，忽视另一个侧面对概念学习都是不利的。

2.建立概念之间的联系，由联系而建成概念网络是理解的基础，更是概念运用的基础。“每一概念都具有一定的复杂程度，特别是，只有在与其他概念所形成的网络中才能全部地理解它”。^[1](125)没有建立联系或联系不当的概念不仅难以理解、运用，而且会对学生学习产生限制、干扰。学生解决问题失败或错误的分析表明，多数失败与错误都与概念之间联系建立不当或不能建立联系有关。

3.概念之间的联系有两个重要作用，一是通过联系建立网络，二是通过联系激活网络。在教学中应同时注意这两种功用的训练。否则，只重视前一侧面，就容易导致网络的机械、僵化。表面上看，学生掌握了概念网络，但他却不能激活网络，因而便不会运用。奥苏贝尔通过“实质的非人为的联系”建立的认知结构（可视为网络），在功能激活侧面便未予以足够关注。而只重视后者，表面上看，网络内每一个节点都很活跃、丰富，但由于整个网络联系不清晰、过于疏散，实质上也未形成真正的概念网络。因此，建立概念网络与激活网络应同步进行。

4.数学概念联系与概念网络都是易变的、易动的、活跃的。概念网络依赖于活跃的概念联系，数学概念之间的联系必须有繁殖力、生长性。仅以逻辑关系作为联系建立的只能是逻辑形式网络，而不是学生内部联系的网络。因此，可以说，奥苏贝尔在批判机械学习观的同时，又走入另一种机械学习观。

5.概念的联系自身也有不同类型，概念网络也有层次差异。在同一水平上的网络中，各个概念（节点）的地位并不均等。在概念整个网络中，有一些概念具有中心地位。无论是建立网络，还是激活网络，这些概念周围构成的区域网络都具有举足轻重的作用，这些关键概念也影响概念的运用与问题解决。同样，概念之间的联系中也存在一些重要的联系，对概念网络的建立与激活起关键作用。

6.概念联系与概念网络的建立，也反映着学生的个体差异。这种差异除了表现在水平上，还表现在学科上，以及个人倾向性上。有的学生侧重于由内到外，有的学生侧重于从外到内，但对概念理解与运用未有差异。

参考文献

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