浅议数学证明在教学中的重要地位

证明是根据一些真实性命题来确定另一命题的真实性的思维过程.在数学教学中，命题证明的教学有以下几个方面的作用：（1）帮助学生获得系统的理论知识；（2）发展培养学生逻辑思维的能力；（3）帮助学生掌握必要的数学思想和数学方法.由此可见，数学证明在数学教学中占有重要的地位.
一、证明的组成和证明的规则
1.证明的组成
任何证明都是由论题、论据和论证三个部分所组成.
论题是指需要确定其真实的命题.论题一般都可以用假言判断来表达.它由联结词“若……，则……”或“如果……，那么……”把两个简单的判断联结起来，构成的一个复杂的判断，它反映了客观事物之间有条件的联系.一个论题不管是简明的，还是复杂的，都包含条件和结论两个方面.条件告诉我们已知的是什么，结论向我们指出要证明的是什么.
论据是指被用来作为证明的理由，一般是指已经规定了命题（如定义和公理）和已经证明了的真命题（如定理、推论、公式、性质、法则等）.
论证是从论据推出论题的过程.它表明了论据和论题之间的逻辑联系.也就是说，以论据作为推理的前提，应用正确的推理形式推出论题的过程.这个过程可以只包含一个推理，也可以包含一系列的推理，可以用只用演绎推理或只用归纳推理，也可以演绎推理和归纳推理并用.
2.证明与推理的联系及区别
证明和推理是有密切联系的.证明要借助于推理来进行，论据相当于推理的前提，论题相当于推理的结论，论证方式相当于推理的形式.但是，证明与推理又有所不同.
（1）推理是根据一个命题（前提）得出另一个命题（结论）.推理只解决形式问题，而不关心前提和结论的真实性.证明根据若干个真实性的命题（论据）进而确定另一个命题的真实性.一个数学命题只有经过证明，其真实性才是确信无疑的.
（2）一个证明必须同时是一个或一系列的推理，而一个或一系列推理却不一定是证明.即使推理的前提正确，由不完全归纳推理和类比推理得到的结论，只具有或然的性质，不能认为是证明.
（3）推理是从前提到结论，前提是已知的，结论是依据前的推出来的.证明是先提出论题（相当于推理的结论），这是已知的，再去寻找使论题成立的论据（相当于推理的前提），这是事先不知道而需要我们去探求的.因此，它们的思考过程正好相反，这就使得证明比推理困难且复杂得多. 免费论文下载中心 二、证明的规则
证明除了要掌握各种论证方式外，还必须遵守一定的规则.
1.论题必须明确.论题是证明的对象，如果论题本身含糊不清，就无法进行证明.例如：“有两边和一条高对应相等的两个三角形全等”就是含糊不清的.论题中所说的“高”，究竟是三角形中哪一条边上的高？没有明确交待.这种逻辑错误叫做“论题不清”.
2.论题应当保持同一.在整个证明过程中，论题应当是始终同一的，不得随意改变.也就是说，要遵守同一律的要求.违反这条规则的逻辑错误是“偷换论题”.例如：论题中给出的“三角形”，在证明过程中偷换为“直角三角形”；给出的“半圆上任一点”，被偷换成取“半圆弧的中点”等等.这种把一般情形当作特殊情形来证明的论证，都属偷换论题.
3.论据必须是真实的.论据是论题的根据.如果论据是虚假的，那就不能确定论题的真实性.违反这条规则的逻辑错误是“虚假论据”，在几何证明中，滥用不成立的逆命题作为论据，或者引用的定理与论题无关，都属此类错误.
应该指出：论据虚假，并不意味着论题是虚假的.论题的真实性仍然是成立的.只有通过对论题的严密论证、实践检验才能认识.数学上断言论题的虚假性，常通过举出反例等方法来加以说明.
4.论据不能依赖于论题.论题的真实性是从论据的真实性中推出的，是依赖于论据来证明的.如果论据的真实性反过来又依赖于论题的真实性来证明，那么什么也没有证明.违反这条规则的逻辑错误，叫做“循环论证”.
5.论证必须遵守推理规则.每个论证都是推理，因而证明过程必须运用有效的推理形式，遵守推理规则.否则，就会犯“推不出”的逻辑错误.例如：“一切矩形都是平行四边形，菱形是平行四边形，所以菱形是矩形.”这里两个前提虽然都正确，但结论却是错误的.因为根据直言三段论的推理规则，“中项在前提中至少周延一次”，现在中项“平行四边形”在两个前提中都作谓项，是不周延的，这就违反了推理规则，必然推出不正确的结论.
数学证明中，犯“推不出”的逻辑错误还有两种情况：一种是“论据与论题不相干”，所据非所论，即论据和论题之间没有必然的联系，这样，从论据的真实性就不能推理论题的真实性；另一种是“论据不足”，也就是所提出的论据对于证明论题的真实来说，虽是必要的，但不是充分的.
以上提出的数学教学法只是我个人的一些实践经验与构想，尚需进一步探索、检验与讨论. 免费论文下载中心