关于欲善其事，先利其器

在中学数学教学中，解题是学习课程的一个实践性环节，是实现教学目的的重要手段。解题是一种能力，平时说的“数学尖子”就是指解题能力强的同学。波利亚说过：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。”他还有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题。”这都充分说明了解题的重要性。中学生写议论文往往要按步进行，解题也是如此。解题需要分三步进行，即：弄清题意，拟定计划，实施计划。计划的产生，首要解决的问题，是要弄清楚出题人的意图和考察的方向。通俗地说就是弄清问题，也就是我们所说的“破题”。善于解题，首当善于破题。唐宋时期读书人应举，诗赋和经义的起首处，需要用几句话说破题目要义，这就是“破题”。“破题”的“破”字有“解开”、“分析”的意思。数学学习中的“破题”，就是在解题过程中从审题开始，迅速而准确地弄懂题意，分析解决问题的思路和方法。
　　破解简单题，在读题审题的过程中，需要列出的问题有：未知数是什么；已知数据是什么；条件是什么；满足条件是否可能；确定未知数，条件是否充分，或者它是否存在、是否多余、是否矛盾等等。列出这些问题后，很容易建立起条件和所需要结论或求解结果之间的联系，从而解决问题。历年高考卷中的前6道填空题基本都属于这类情况。同学们只要考虑上述问题，做起来会相对轻松。当一道新颖或感觉陌生的题出现在你面前时，如果也能做到这样游刃有余，那学习数学就很轻松愉悦了。
　　当然，高考题目的形式在不断变化，难度也在不断增加。面对这种情况，很多同学感到无所适从，题目在手，不知考察哪个知识点，学到的方法不知用在何处，更不知如何解决问题。如何提高解题的实践操作性，就成了目前教学中的一大难题。笔者现将平时数学教学中摸索出的几种破题方法介绍给大家，以供参考。
　　一、N即1
　　利用数学思想里特殊与一般的思想，将题目中较大的数字或参数直接视为1，使复杂问题简单化，就容易得到求解的方法和思路；或者当题目中出现多个参数时，将其简化成较少或1个参数的问题来求解。通过对个例的认识与研究，形成对事物由浅入深、由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论、由特殊到一般、再由一般到特殊的反复认识过程。
　　例1、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。
　　（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。
　　（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。
　　解题思路：该题我们可以借助图形，设污水处理池的宽为x米，则长为　　米，先建立起函数模型。起初函数式子总造价f(x)=400×（2x+　　　　）+248×2x+80×162相对复杂，数字很大，很繁琐。此时如果在列式的过程中，将较大的数字视为1，就会很容易发现此函数就是y=x+　的模型，这样后面的求解思路就很清晰了。则总造价f(x)=400×（2x+　　　　+248×2x+80×162≥1290×2+12960=38880（元），当且仅当x=10时取等号。 第二问中，由限制条件知10≤x≤16。
　　设g(x)=x+　　（10　≤x≤16）。
　　同样将较大数字视为1，问题自然简化成函数有限定范围、取不到等号的问题，而采用求导判断其单调性的方法得到，g（x）在[10　，16]上是增函数，所以当x=10时，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，总造价最低，为38882元。
　　有时题目中出现了字母（参数），同学们往往会觉得解决起来就比较棘手。其实若将其中的参数具体化，利用一般到特殊的思想，将其视为1，认清题目的基本模型，找到相关的知识点和解决方法，再回到一般情况，回到题目中的具体条件进行分类，就能使问题得到解决。
　　例2、已知函数g（x）=　　　+1nx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-　　-1nx，m∈R。
　　（1）求θ的值。（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围。（3）设h（x）=　，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）>h(x0)成立，求m的取值范围。
　　解题思路：这道题目中，可将（1）问中的sinθ视为1，函数基本模型还原，就可以得到此题是利用求导解决函数单调性问题。从而由题意得知：g′（x）=　　　+　≥0在[1，+∞）上恒成立，即　　　　≥0。在解这个不等式时，仍可将sinθ视为1，还原为求解分式不等式，找到基本思路。∵θ∈（0，π），∴sinθ>0。故sinθ·x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只需sinθ·1-1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ=1。结合θ∈（0，π），得θ=　。
　　在（2）中，f（x）-g（x）=mx-　-21nx，也可以将m视为1，认清是含有分式函数、对数函数在内的函数单调性求导问题。因为f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，所以（f（x）-g（x））′=　　　　　，所以mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立。mx2-2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即m≥　　，故m的取值范围是(-∞，0]∪[1，+∞）。
　　在（3）中构造出F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx-　-21nx-　。仍可以用这样的想法来理清解题思路，后分类进行讨论，解得m>　　。
　　在平时的检测中，如果碰到一些字母或参数较多的问题，只要本着“多就是1”的原则，就会成竹在胸，不会有恐惧感，心定气闲之余，问题也就迎刃而解。
　　例如（08江苏高考第11题）：
　　已知x、y、z∈R+，x-2y+3z=0，则　的最小值______。　　
　　说明：本题有着将三元化为二元的思想，由x-2y+3z=0得y=　　，代入　，利用二元基本不等式问题轻松解决。
　　再如：在△ABC中，a、b、c成等差数列，且公差d<0，最大角是最小角的2倍，则a∶b∶c=______。
　　分析思路：结合已知条件初步分析，不可能将三条边一一解出来，又因为是求比值，所以在这题中看起来是三条边，其实就是两个元素间的关系问题。带着这个想法，着手分析两个元素，努力找出相互关系。根据a、b、c成等差数列，不直接用2b=a+c，而用b-d、b、b+d，再根据大边对大角、大角为A、小角为C的规律，由正弦定理可得　　 = 　　，即　　 = 　　。运用倍角公式和余弦定理，代入整理有b=-5d，从而得出a∶b∶c=6∶5∶4。
　　二、数即形
　　数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。面对难以下手的代数形式，可以用相应的几何图形去思考；不好解决的几何图形问题，可以寻找相关的代数形式来解决。通过数与形相互转化的方式解决数学问题，实现数形结合的有机统一，常常会与以下内容有关:(l)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图像的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义等。
第一种情况：可将较为复杂的代数问题利用相应图像解决。
　　例1、若直角坐标平面中两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（x）的图像上，②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”。
　　已知f（x）　　　　　　，则f（x）的“友好点对”有______个。
　　解题思路：要解决好这个问题，列式分析判断是很困难的。可通过平移、描点得到函数的图像后，将y轴一边的图像与原点对称，就可直接观察交点个数得解。
　　又如：在平面直角坐标系xoy中，若直线y=kx+1与曲线y=|x+　|-|x-　|有四个公共点，则实数k的取值范围是______。这道题如果利用两个式子之间的关系来解答是无从下手的，但若在同一坐标系中先分类讨论去绝对值，将函数分段，作出曲线y=|x+　|-|x-　|的图像，然后将过（0，1）的直线围绕点旋转，很快就能得到符合题目要求的条件，相切位置可通过求导也可通过方程联立求得。
　　免费论文下载中心 　　 第二种情况：
　　题目中给出图形或图形的简单描述，求解相关问题。这种题型一般不能通过图形观察得到所要的结果，这就需要找到与其配套的代数模型，或放在坐标系中用代数方法来研究，将问题简化、破解。
　　例1、若AB=2，AC=　2BC，则S△ABC的最大值______。
　　解题思路：本题若知道C点的轨迹是圆，就可以直接通过图形观察什么位置的三角形面积最大。还可以通过以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-1，0）、B（1，0）。设C（x，y），由AC=　2BC可得（x-3）2+y2=8，方程出来后就很容易得到C在以（3，0）为圆心、2　2为半径的圆上运动。S△ABC=　·AB·|yc|=|yc|≤2　2。这就是我们常说的解析法，换而言之就是用代数思想解决几何问题。
　　例2、（南京09年二模）从等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC=2，∠A=90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为______。
　　
　　分析：本题设出两正方形的边长为变量x、y，根据BC长可得到关系式x+y=1，再根据基本不等式的变形式子x2+y2≥　　得解。
　　例3、将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=　　　　　，则S的最小值是______。
　　分析思路：通过图形是不容易得到最值结果的，可从代数角度去思考。设剪成的小正三角形的边长为x，
　　再利用导数求函数最小值方法。
　　S′（x）=0，0<x<1，x=　。当x∈（0，　]时，S′（x）<0，递减；当x∈[　，1）时，S′（x）>０，递增。故当x=　时，求解S的最小值是　　　。
　　三、繁即简
　　利用化归与转化思想，能将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题，灵活多变，无统一模式。可利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。鼓励学生读题时要告诉自己：复杂的就是简单的，考再难的题，知识点和方法都是自己掌握的。有了这样的心理暗示，一则增加了自信，二则思考问题就会有方向，朝着基本方法和基本知识点、通性通法去思考。
　　例1、（09年江苏高考第14题）：设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn=an+（n=1，2，…），若数列{bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，则6q=_____-9______。
　　解题思路：本题牵涉到两个数列，把握以等比数列为背景这一关键，将各数按照绝对值从小到大的顺序排列，各数减1，结合等比正负相间的特点，化繁为简，再通过观察即可迅速得解。
　　例2、（江苏2011高考20题）：设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）=2（Sn+Sk）都成立。（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{an}的通项公式。
　　解题思路：本题为最后一题压轴题，学生看到这道题的第一感觉是复杂，进而惊慌失措。要做到不慌不忙、快速而准确的解题，就要全面地、细致地弄清问题中的各种信息，理出思路，进行破题。
　　例如：第（1）问中利用k=1，∴n>1，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1），∴Sn+2+Sn=2（Sn+1+S1）。具体到Sn，Sn-1，Sn+1，S1之间的关系，将繁杂进行第一步简化；接着思考Sn，an的关系，作差后有：an+2+an=2an+1，所以，n>1时，{an}成等差，进而得到第二步简化；而a2=2，视Sn=a1+a2+…+an回归到前三项和而进行第三步简化。从而有S2=3，S3=2（S2+S1）-S1=7∴a3=4，∴a5=8。
　　第（2）问实际是第一问的反复重演。可借助（1）中的解题思路将繁琐的问题进一步简化，从而由题意可得：
　　n>3，Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3），（1）；n>4，Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4），（2）；n>4，Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3），（3）；n>5，Sn+5+Sn-3=2（Sn+1+S4），（4）。
　　当n≥5时，回归到简单的（1）、（2）、（3）、（4），化繁为简，此题即破。由此可知，只要目标明确，条理清楚，就能成功解题。如：
　　由（1）（2）得：an+4-an-3=2a4，（5）由（3）（4）得：an+5-an-2=2a4，（6）由（5）（6）得：an+5=an-3+ad2=an+4-2a4+2d2，（9），an+4=an-2+2d1=an+5-2a4+2d1，（10），由（9）（10）得：an+5-an+4=d2-d1，2a4=d1+d2，an-2-an-3=d2-d1;∴{an}（n≥2）成等差，设公差为d。
　　在（1）（2）中分别取n=4，n=5得：
　　2a1+6a2+15d=2（2a1+5a2+5d），
　　即4a2-5d=-2；2a1+8a2+28d=2（2a1+7a2+9d），
　　即3a2-5d=-1，∴a2=3，d=2，∴an=2n-1。
　　“工欲善其事，必先利其器。”领悟以上三种很实用的破题方法，灵活运用在解题实践中，就能将复杂问题简单化。将繁琐的题干进行瘦身，化难以琢磨的困惑为条理清晰的思路，从而形成严谨、周密的解题计划。只要利器在手，遇题就能顺风顺水。每一位数学高考状元，谈到切身感受时，讲的较多的一句话是：整个考试过程中，想的比做的多。这启发我们，破题对解题是至关重要的。的确，掌握适合自己实用的破题方法是解题的关键，也是同学们学好数学的有力保证。破题的学问博大精深，只有逐步揣摩、逐步领会，才能把握其精髓。 免费论文下载中心