关于例说梯形辅助线的作法

梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形知识的综合。在解决梯形问题时，往往因不能直接找到条件与结论之间的联系，这种情况下需要添加适当的辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的知识去解决梯形的有关问题。梯形的证明题和计算题中常用的辅助线有：
　　1.作梯形的高：过梯形同一底边的两个端点作梯形的两条高，把梯形分割为两个直角三角形和一个矩形。
　　2.连对角线：连对角线将梯形转化为三角形。
　　3.平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，转化为三角形、平行四边形，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。
　　4.平移一腰：过梯形上底或下底的一个端点或一腰的中点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形和三角形。
　　5.平移两腰：过梯形上底或下底上的一个点作两腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形和三角形。
　　6.延长两腰：延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
　　7.旋转上底： 旋转由梯形一底和一腰中点构成的三角形（或者可以说连结上底的一个端点与腰的中点并延长与下底的延长线相交），可使梯形转化为三角形
　　8.构造中位线：已知梯形一腰或两腰的中点，可连结两腰中点或过一腰的中点做一条底边的平行线构成梯形的中位线。
　　当然，在梯形的证明和计算中，作的辅助线并不一定是单一的，有时可同时作两种或两种以上，目的是一致的，把梯形问题转化为平行四边形和三角形的有关知识来解决。
　　下面举例介绍梯形中这几种常用的辅助线在解题及证明中的运用：
　　例1、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，高DE＝10cm。求上、下底的和与面积。
　　方法一：作梯形的高：可以依据条件画出图1，已知DE是高，可以再作出另一条高AF，于是有AD＝FE，BF＝CE，即BE＝CF，此时要求上、下底的和，即求BE+CF，而由已知条件即可求得，进而求出面积。
　　
　　解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE。
　　∵AD∥BC，∴四边形AFED是矩形，
　　∴AF＝DE，AD＝FE。
　　∵AB＝DC， AF＝DE，
　　∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
　　∴BF＝CE，
　　∴BF+FE＝CE+FE，即BE＝CF。
　　∵∠DBC＝45°，高DE＝10cm，
　　∴BE＝CF＝DE＝10cm。∴AD+BC＝BE+CF＝20cm，
　　即上、下底的和为20cm。
　　∴ 梯形的面积＝1/2（AD+BC）?DE＝1/2（BE+CF）•DE＝1/2×20×10＝100cm2。
　　方法二、平移对角线：可以依据条件画出图1，已知BD是对角线，可以过梯形的顶点A作对角线BD的平行线AG，此时要求上、下底的和，即求BC+BG；求等腰梯形ABCD的面积，即求三角形AGC的面积。
　　解：过点A作AG∥DB，交BC的延长线于点G，则∠G＝∠DBC＝45°。
　　∵AD∥BC，∴四边形AGBD是平行四边形。
　　∴AG＝DB＝AC，AD＝GB，
　　∵AB＝DC，∴△ABG≌△CDA（SSS），
　　∴∠ACG＝∠CAD＝45°，
　　∵AD∥BC，∴∠ACG＝∠CAD＝45，
　　即∠GAC＝90°，△GAC为等腰直角三角形。
　　∵高DE＝10cm，∴AD+BC＝BG+BC＝2DE＝2×10＝20cm，
　　即上、下底的和为20cm。
　　∴ 梯形的面积S△ABC＝S△ADC＝S△ABC +S△ABG＝1/2GC•DE＝1/2（BG+BC）•DE＝1/2×20×10＝100cm2。 免费论文下载中心 　　方法三、连对角线：可以依据条件画出图1，已知BD是对角线，可以作梯形的另一条对角线AC，此时要求上、下底的和，即求2DE，而由已知条件即可求得，进而求出面积。
　　解:连接AC交BD于点O。
　　∵AB＝CD， AC＝BD，BC＝BC，∴△ABC≌△DCB（SSS），
　　∴∠ ACB＝∠DBC＝45°，
　　∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ADB＝45°
　　即∠BOC＝90°，∠AOD＝90°，△BOC与△AOD为等腰直角三角形。
　　∴AD+BC＝2DE＝2×10＝20cm，
　　即上、下底的和为20cm。
　　∴ 梯形的面积＝1/2（AD+BC）•DE＝1/2×20×10＝100cm2。
　　例2、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15cm，BC＝49cm，求CD的长.
　　方法一：作梯形的高：解：如图2，分别过点A、D作AF⊥BC于点F，DE⊥BC于点E，则四边形AFED为矩形。
　　
　　∵AB＝CD，AF＝DE，
　　∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
　　∴CE＝BF＝1/2（BC－AD）＝1/2×（49-15）＝17cm。
　　∵∠C＝60°，
　　∴CD＝2CE＝34cm。
　　方法二、平移一腰：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形和三角形。
　　解：如图2，过点D作DG∥AB交BC于点G，则四边形ABGD为平行四边形。
　　∴AD＝BG＝15cm，AB＝DG。
　　∴GC＝BC－BG＝BC－AD＝49－15＝34cm。
　　∵AB＝CD，AB＝DG，∴DG＝CD。
　　∵∠C＝60°，∴△CDG是等边三角形，
　　即CD＝GC＝34cm。
　　如图2，过点C作CH∥AB交AD的延长线于点H，则四边形ABCH为平行四边形。
　　∴AH＝BC＝49cm，AB＝CH。
　　∵AB＝CD，∴CH＝CD。
　　∵∠DCB＝60°，AD∥BC，
　　∴∠CDH＝60°，△CDH是等边三角形，
　　∴DH＝AH－AD＝BC－AD＝49－15＝34cm。
　　即CD＝DH＝34cm。
　　以上的一些常用辅助线，实际上都体现了数学中的转化的数学思想，即将梯形的问题转化为三角形或平行四边形，在学习过程中希望同学们能细心体会并加以灵活运用。 免费论文下载中心