浅议数学开放题
一、开放意识的形成
关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。近两年高考题中也出现了开放题的“影子”，如“关于函数f（x）=4Sin（2x+π/3）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4Cos（2x-π/6）：③y=f（x）的图象关于点（-π/6，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=-π/6对称。其中正确的命题是──（注：把你认为正确的命题的序号都填上）”
显然《高中代数》上册第184页例4“作函数y=3Sin（2x+π/3）的简图。”可作为其原型。学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。又如2000年理19文20题函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放，条件上，对，是选择，还是选择？选择前者则得，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）；从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者的重视。
二、开放问题的构建
开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”，我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式：
例如：由圆x2+y2=4上任意一点向x轴作垂线，求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程.（答案：x2/4+y2=1）
问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。
对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。如改变位置，将A写成“（x-a）2+（y-b）2=4”，即可得所求的轨迹方程为（x-a）2+（2y-b）2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2+（y-b）2=4与椭圆x2+（2y-b）2=4有怎样的位置关系？试说明理由。 免费论文下载中心 简解：解方程组得y=0或y=2b/3
当y=0时，x2+b2=4，
（1）若b<-2或b>2，圆与椭圆没有公共点；
（2）若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点；
（3）若-2<b<2，圆与椭圆恰有二个公共点。
当y=2b/3时，x2+b2/9=4，
（1）若b<-6或b>6，圆与椭圆没有公共点；
（2）若b=±6，圆与椭圆恰有一个公共点；
（3）若-6<b<6，圆与椭圆恰有二个公共点。
综上所述，圆x2+（y-b）2=4与椭圆x2+（2y-b）2=4，当b<-6或b>6时没有公共点；当b=±6时恰有一个公共点；当-6<b<-2或b=0或2<b<6时恰有二个公共点；当b=±2时恰有三个公共点；当-2<b<0或0<b<2时恰有四个公共点。
上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。
再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+（y-b）2=4上的点到椭圆x2+（2y-b）2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。
对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。
三、开放问题的探索
开放的行为给上面的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。具备对“封闭”题“开放”的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力。 免费论文下载中心