浅谈在数学教学中对学生进行“分类讨论”思想的培养

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
　　分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。
　　一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，当被研究的问题包含有多种可能的情况，导致我们不能将它们一概而论时，迫使我们将可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，而后进行综合。分类讨论一般应遵循以下的原则：
　　1） 对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准。
　　2） 分类要完整：不重复，不遗漏。
　　3） 有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
　　所以我们要努力的使学生掌握这种思想，这就要求教师认真钻研教材，从整体出发，有计划、有目的地结合数学知识的学习，进行数学思想的教学。比如学习分类思想，要明确分类思想方法具体分散在哪些章节的哪些知识的教学中，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。
　　一、 渗透分类思想，养成分类的意识
　　每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
　　讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类： 通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。　　
　　二、启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质
　　分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，举一些符合大纲要求且学生能够接受的，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质。 免费论文下载中心 　　例1 方程kx2-2x+3=0有几个实数根？
　　学生往往不注意k对方程性质的影响，讨论或讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0，k≠0两类讨论。当k≠0时，再分△>0，△=0，△<0三种情况进行讨论。
　　例2 二次函数y=a（x-1）2+m的图像过哪几个象限？
　　这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。
　　这两道例题是初中数学的常见习题，在教学中引导学生思考此类问题，一方面渗透分类思想，一方面通过具体的实例使学生体会分类的实质为：化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之；其次，有时分类并不是一次就可完成，需逐级分类
　　三、创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想
　　分类讨论的思想对学生的能力要求较高，除了在课堂教学中渗透、提炼外，还要有意识地增加平时应用这一思想方法的机会，得到强化，克服分类讨论中的盲目性和随意性，提高学生的综合运用这种数学思想解题的能力。
　　在教学中应边学习边总结，使学生明确引起分类讨论的原因，增强学生自觉应用分类讨论的意识。在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：
　　1.有些知识本身是分类定义和概括的。如绝对值的定义、一元二次方程根的判别式等；2.数和式的变形中需要附加条件；3.研究含有字母的方程、不等式解的特征和求解；4.涉及几何图形的形状和位置的问题；5.开放性的数学问题；6.一般得，当问题的条件特别少时，需要分类以补充条件的情况。
　　例3 当a为何值时，方程 只有一个实数根？求满足条件的实数a的值及方程的根。
　　分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：
　　1） 化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；
　　2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）
　　3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。
　　在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：
　　1.等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？
　　2.⊙O的半径为5cm，AB和CD为⊙O中的两条平行弦，求AB和CD间的距离？
　　如果不在教学中予于强化，大多数同学往往不会进行分类讨论。因此，在平时教学中要创设情景，培养学生自觉应用分类讨论的意识。 免费论文下载中心