浅谈几何概念的掌握

摘 要：几何概念的掌握是学好几何的关键，注重定义与生活的联系，多增加概念所包含对象的变式，归类与层次的划分，对掌握几何概念很有帮助。<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

关键词：几何概念 定义 变式 归类

概念是思维的基本形式之一，反映客观事物一般的本质特征，人类在认知过程中，把所感觉的事物的共同特点抽出来 ，加以概括，就形成概念。而几何证明的推理过程，逻辑十分严谨，它是在对问题中提到的概念（要结合图形），必须有准确的理解以及能观察出他们之间的相互关系之后，才能作出正确的判断，推理。因此，几何概念的形成与掌握是学好几何的基础，也是学好几何的关键。

几何概念是几何图形的本质特证在人脑中的形成与反映，是抽象思维的基本单位。人们掌握概念的途径有两种，一种是通过生活体验的逐步积累，对某种概念有越来越清楚的认识，儿童掌握日常生活的许多概念就是通过这种途径。但对于中学生来说，要求其能掌握好几何概念，主要是通过另一种途径，通过教学给学生某一概念的准确定义，而且学生在学习过程中不断找到实例来验证，实例越多，概念也就越清晰牢固。那么学生怎样才能更快更好地理解及掌握这些几何概念呢？在这里笔者提出几点粗浅的建议：

首先，应注意从概念的定义本身入手以及日常生活中形成的概念对几何概念的作用。在日常生活中形成的概念，构成了人对世界的一般认识，也是掌握几何概念的基础，比如我们熟知“邻居”就是自家附近住着的别的人家，在几何上“邻补角”的概念也就易理解了，“邻补角”并不是指一切挨得很近的角，而是专指“具有公共顶点和公共边的互补的角”。还有在几何中，有许多概念若从其定义本身入手，认真领会，结合图形也是不难理解，掌握的。如在讲“三线八角”时，提到的“同位角”、“内错角”、“同旁内角”都是两条直线被第三条直线截成的，它们没有公共顶点，它们的边有公共部分(在截线上)，如图（1）

　　　　　　　　　　　　（1）

∠5与∠1，这两个角分别在直线a、b的同侧（上方），并且都在直线c的同侧（右侧），像这样位置相同的一对角叫做同位角，∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8也是同位角。

∠3与∠5都在直线a、b的内部（之间），分别在直线c 的两侧（位置交错），所以这一对角叫做内错角，∠4与∠6也是内错角。

∠5与∠4是同旁内角，它们都在直线c的同旁，并且都在直线a、b的内部（之间），所以这一对角叫做同旁内角，∠6与∠3也是同旁内角，有许多概念都可以从定义本身入手，像这样的例子很多，故从定义本身入手和注重日常生活中形成的概念，对掌握几何概念很有帮助。

其次，要注意概念所包括的对象的变式。每个概念都有特定的含义，而教师为说明一个概念举例子的时候，常常会举出最方便，最司空见惯的一种，久而久之，人们把这个例子中非本质东西当作概念的一部分记住了，结果造成误解，如下图：

让我们先看看图（2），要求学生从点A向图上所画线段 引一条垂线，对大家来说是轻而易举。因为“垂线”的“垂 ”字是从上向下垂直，与地平线呈90°夹角引申出来的。图（2），恰恰符合这些条件，所以学生作起来没问题，当教师把从点A引垂线的任务按图（3）所示的那样让学生完成时，就会引起部分学生的困惑，因为在学生看来，垂直是向下的，因此从点A向上引垂线就违背了他们所理解的垂线概念，而对对图4、图5、完成同样的作业，就使更多的学生不能理解，就会有人说“这怎么引垂线？”，“垂线怎么是斜的？”“图5、6无论怎样都不可能过点A引线段 的垂线（忽略了是作线段 所在直线的垂线）”。图6中，P是∠AOB的平分线OC上的一点，要求学生比较点P到OA、OB的距离的大小（从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离）。学生在过点P作射线OA、OB的垂线时，也很易出错，许多学生过点P作OC的垂线与OA、OB分别交于D、E，比较PD、PE的大小，他只想到过点P作垂线。而又没考虑到哪条线的垂线，还有的同学连结PA、PB，比较PA、PB的大小，所有产生这些疑惑和错误，是因为人们看惯了典型的垂线事例，以至于把例子中非本质的东西，如：是否与操作者的视平线水平线垂直，图形的相对位置加到了垂线的本质特征里。

在另一种变式中是受到了多种干扰条件的影响，以至于学生感到所学概念不能解决问题，作出了错误判断。如下图（7）、中指出∠B与∠BAC，∠B与BAE，∠B与∠C的位置关系各是什么角。

这个问题，许多同学感到棘手，一方面干扰条件太多，使学生不易观察出来，另一方面，与人们平时看到的很方便、很易懂，很典型的例子（如图1）大相径庭，这时该怎么办呢？要教会学生能排除干扰条件，认真理解概念的定义，把所研究的问题从复杂的变式中抽取出来（如图8、9、10），和我们易懂的典型的图形去对比（很易得到它们都是同旁内角），反复体会概念的本质，从而掌握概念，因此多增加变式，从多角度逐步让学生深入理解几何概念的特征，使学生在复杂的几何图形中很易观察出自己想用的几何概念，是掌握几何概念的必由之路。

第三，分清概念的不同层次，把概念按系统归类，列表，比较有助于概念的掌握，其实这就是俗话说的编辫子，把有关的概念有次序地排列起来，成串记忆，是一种理解和掌握概念的好方法。如在九义教材“四边形”这一章中，提到“正方形”这一概念，比它高一级的概念是“矩形”和“菱形”，（高一级的概念包括低一级的概念，如只能说“正方形是矩形，正方形也是菱形”，但不能颠倒过来说），那么菱形和矩形又有什么关系呢？比它们更高一级的概念又是谁呢？因此了解它们之间的层次和关系是非常重要的，为此可把四边形和各种特殊四边形之间关系如下图所示：

这样做，使本章所学的各种四边形的概念形成一个完整的体系，能使学生对本章所学的概念形成了全面地、系统地有鉴别地认识，利于学生理解各概念之间的关系，利于学生掌握这些概念。

当然，帮助学生掌握几何概念的方法很多，同学们可以根据自己的实际情况，找更多适合自己学习的好办法。